O volume V de um cilindro de diâmetro D e altura h é dado por:
V=pi D^2 h4
Se ambas as dimensões foram medidas com o mesmo paquímetro, cuja única incerteza avaliada foi o erro de scala sigmap, podemos admitir que há uma covariância entre os valores de D e h e suas contribuições para a incerteza no volume sigmaV podem ser somadas linearmente. A expressão mais correta para sigmaV é:
(a) sigmaV=pi D h2 sigmap
(b) sigmaV=pi D^24 sigmap
© sigmaV=pi D sigmap2 raizh^2+D^24
(d) sigmaV=pi D sigmap2(h+D2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre encontrar a incerteza no volume de um cilindro. A fórmula do volume é $ V = \frac{\pi D^{2} h}{4} $, onde $ D $ é o diâmetro e $ h $ é a altura. Tanto $ D $ quanto $ h $ foram medidos com um paquímetro que tem uma incerteza de escala $ \sigma_p $. Queremos descobrir qual das opções (a), (b), © ou (d) dá a expressão correta para a incerteza no volume $ \sigma_V $. Vamos usar conceitos de propagação de incertezas e covariância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a incerteza de uma função que depende de mais de uma variável. No caso, o volume $ V $ depende de $ D $ e $ h $. A incerteza total $ \sigma_V $ pode ser aproximada somando as contribuições das incertezas individuais de $ D $ e $ h $, levando em conta como cada uma afeta $ V $.

Passo 3

Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ D $ e a $ h $. Essas derivadas nos dizem como pequenas variações em $ D $ e $ h $ afetam o volume $ V $.
Calculando a derivada parcial de $ V $ em relação a $ D $:
V
E a derivada parcial de $ V $ em relação a $ h $:
D

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da propagação de incertezas considerando a covariância entre $ D $ e $ h $. Como as medições foram feitas com o mesmo paquímetro, as incertezas estão correlacionadas.
A incerteza no volume $ \sigma_V $ é dada por:
D
Substituindo as derivadas que calculamos:
h
sigmaV

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
sigmaV = pi D sigmap2 ( h + D2 )
Essa expressão corresponde à opção (d).

Resposta

A expressão correta para a incerteza no volume é:
sigmaV = pi D sigmap2(h + D2)
Opção (d).

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