O volume
de um cilindro de diâmetro
e altura
é dado por:
Se ambas as dimensões foram medidas com o mesmo paquímetro, cuja única incerteza avaliada foi o erro de scala
, podemos admitir que há uma covariância entre os valores de
e
e suas contribuições para a incerteza no volume
podem ser somadas linearmente. A expressão mais correta para
é:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre encontrar a incerteza no volume de um cilindro. A fórmula do volume é $ V = \frac{\pi D^{2} h}{4} $, onde $ D $ é o diâmetro e $ h $ é a altura. Tanto $ D $ quanto $ h $ foram medidos com um paquímetro que tem uma incerteza de escala $ \sigma_p $. Queremos descobrir qual das opções (a), (b), © ou (d) dá a expressão correta para a incerteza no volume $ \sigma_V $. Vamos usar conceitos de propagação de incertezas e covariância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a incerteza de uma função que depende de mais de uma variável. No caso, o volume $ V $ depende de $ D $ e $ h $. A incerteza total $ \sigma_V $ pode ser aproximada somando as contribuições das incertezas individuais de $ D $ e $ h $, levando em conta como cada uma afeta $ V $.
Passo 3
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ D $ e a $ h $. Essas derivadas nos dizem como pequenas variações em $ D $ e $ h $ afetam o volume $ V $.
Calculando a derivada parcial de $ V $ em relação a $ D $:
E a derivada parcial de $ V $ em relação a $ h $:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da propagação de incertezas considerando a covariância entre $ D $ e $ h $. Como as medições foram feitas com o mesmo paquímetro, as incertezas estão correlacionadas.
A incerteza no volume $ \sigma_V $ é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Essa expressão corresponde à opção (d).
Resposta
A expressão correta para a incerteza no volume é:
Opção (d).