III- [40 pontos] Considere uma região cilíndrica de raio R, onde tem um campo magnético \boldsymbol{B} de magnitude variando linearmente com o tempo tal que
B(t)=\alpha t+\beta
Onde \alpha e \beta são constantes. \boldsymbol{B} é paralelo ao eixo do cilíndro.
(a) Um campo elétrico E vai ser induzido. Explique porque.
(b) Calcule a magnitude do \boldsymbol{E} induzido numa região dentro do cilíndro.
(c) Calcule a magnitude do \boldsymbol{E} induzido numa região fora do cilindro
(d) Qual é o valor do campo elétrico induzido a uma distância igual ao raio do cilindro?
Passo 1
O enunciado dá uma região cilíndrica de raio R e um campo magnético \boldsymbol{B} paralelo ao eixo do cilindro cuja magnitude depende do tempo segundo
B(t)=\alpha t+\beta,
onde \alpha e \beta são constantes. O enunciado pede:
(a) explicar por que um campo elétrico \boldsymbol{E} será induzido;
(b) calcular a magnitude de \boldsymbol{E} para pontos dentro do cilindro (distância radial r<R);
(c) calcular a magnitude de \boldsymbol{E} para pontos fora do cilindro (distância radial r>R);
(d) dar o valor do campo elétrico induzido para r=R.
Informações relevantes dadas:
Raio do cilindro: R.
Campo magnético uniforme na região ocupada pelo cilindro e paralelo ao eixo: \boldsymbol{B}(t) com magnitude B(t)=\alpha t+\beta.
\alpha e \beta são constantes (logo \dfrac{dB}{dt}=\alpha, constante).
Queremos magnitudes de \boldsymbol{E} em função de r e R.
Passo 2
Por que surge um campo elétrico quando B varia no tempo? Explicação física (intuitiva e curta):
Um campo magnético que muda no tempo altera o fluxo magnético através de superfícies. Essa variação de fluxo cria uma força eletromotriz ao longo de contornos fechados que envolve a superfície — isto é, gera um campo elétrico não-conservativo cujas linhas fecham em laços.
Formalmente isso é descrito pela lei de Faraday (forma integral), que liga a circulação de \boldsymbol{E} ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético: isso é a razão física pela qual um \boldsymbol{E} induzido aparece quando B depende de t.
Aqui \boldsymbol{B} é paralelo ao eixo do cilindro e assume-se espacialmente uniforme na região interna ao cilindro (segundo o enunciado implícito). Como B(t)=\alpha t+\beta, temos
\frac{dB}{dt}=\alpha,
constante. A variação temporal do fluxo será então proporcional a \alpha.
Passo 4
Argumento de simetria para a forma de \boldsymbol{E}:
Pelo enunciado a geometria é axialmente simétrica (campo B paralelo ao eixo, depende só do tempo), então o campo elétrico induzido deve respeitar essa simetria: as linhas de \boldsymbol{E} são círculos concêntricos ao eixo (linhas azimutais), e a magnitude de \boldsymbol{E} depende apenas da distância radial r ao eixo.
Portanto, para aplicar a lei de Faraday escolhemos uma curva circular \mathcal{C} de raio r, centrada no eixo. Nesta curva \boldsymbol{E} é tangencial e tem módulo constante igual a E(r), e o elemento de linha tem magnitude d\ell com \oint d\ell = 2\pi r.
Passo 5
Cálculo para r<R (dentro do cilindro):
Fluxo magnético através do disco de raio r é
\Phi_B(r,t)=B(t)\cdot (\text{área do disco}) = B(t)\,\pi r^2.
Aplicando a lei de Faraday à curva circular de raio r:
Observação didática: o sinal negativo em E(r)=-\tfrac{r}{2}\alpha indica o sentido (orientação) do campo elétrico em relação à escolha de orientação do contorno (e está ligado à lei de Lenz). A magnitude pedida no enunciado é o valor positivo acima.
Passo 6
Cálculo para r>R (fora do cilindro):
Para um círculo de raio r>R o campo magnético existe somente até o raio R (dentro do cilindro). Assim o fluxo através do disco de raio r é o mesmo que através do disco de raio R:
\Phi_B(r,t)=B(t)\,\pi R^2.
(Aqui explicitamente se usou que peguei esse dado do enunciado: B está presente apenas na região do cilindro de raio R.)
As expressões interna e externa coincidem em r=R, mostrando que a magnitude de \boldsymbol{E} é contínua atravessando a fronteira r=R.
Passo 8
Interpretação do sentido (comportamento prático):
A direção de \boldsymbol{E} é tangencial (azimutal). O sentido (horário ou anti-horário visto de cima) é dado pela regra de Lenz: se \alpha>0 (ou seja B aumentando no sentido +\hat{z}), o campo elétrico induzido cria uma corrente efetiva cujo campo magnético resultante se opõe ao aumento (portanto o sentido da circulação é tal que o campo magnético induzido seja oposto a \boldsymbol{B}). Em termos práticos: o sinal de \alpha determina o sentido do \boldsymbol{E} via o sinal na expressão completa E(r)=-\frac{\dots}{2}\alpha.
Resposta
(a) Porque a variação temporal do campo magnético altera o fluxo magnético através de superfícies e, segundo a lei de Faraday, essa variação de fluxo induz uma força eletromotriz — isto é, gera um campo elétrico induzido não-conservativo ao longo de laços fechados.
(b) \displaystyle \big|\boldsymbol{E}(r)\big|=\frac{r}{2}\,|\alpha|\quad\text{para }r<R.
(c) \displaystyle \big|\boldsymbol{E}(r)\big|=\frac{R^{2}}{2r}\,|\alpha|\quad\text{para }r>R.
(d) \displaystyle \big|\boldsymbol{E}(R)\big|=\frac{R}{2}\,|\alpha|.