( 3,0 pontos) (Colisões): Duas partículas de massas m_{1} e m_{2}, com velocidades iniciais v_{1} e v_{2} vão colidir sobre uma mesa sem atrito. Considere que a colisão seja completamente inelástica para encontrar a velocidade delas quando:
(a) (1,5 ponto): \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} estão na mesma direção, mas em sentidos opostos

Passo 1

O enunciado dá duas partículas com massas m_1 e m_2 e velocidades iniciais \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 que colidem sobre uma mesa sem atrito. A colisão é completamente inelástica (elas ficam presas uma na outra). A pergunta (a) pede a velocidade final delas quando \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 estão na mesma direção, mas em sentidos opostos.
Informações relevantes:
  • Massas: m_1, m_2.
  • Velocidades iniciais: \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 (colineares, sentidos opostos).
  • Colisão: completamente inelástica (pos-colisão: as duas massas movem-se juntas).
  • Mesa sem atrito: não há força externa horizontal relevante.
O que é pedido:
  • Encontrar a velocidade final (vetorial ou escalar com sinal) do conjunto após a colisão.

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática): conservação do momento linear.
  • Em um sistema isolado (aqui: sem atrito, nenhuma força externa horizontal significativa), o momento linear total se conserva durante a colisão.
  • Momento linear de uma partícula: é o produto da massa pela velocidade. Em notação vetorial: \mathbf{p}=m\mathbf{v}.
  • Para o sistema das duas partículas, a condição de conservação do momento vetorial é
m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = (m_1+m_2)\mathbf{v}_f,
onde \mathbf{v}_f é a velocidade comum depois que elas grudam.
Observação sobre vetores e sentidos:
  • Como \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são colineares (mesma linha) e em sentidos opostos, podemos tratar a situação usando uma única componente escalar com sinal: escolhemos um sentido como positivo (por exemplo, o sentido de \mathbf{v}_1). Então a velocidade escalar correspondente a \mathbf{v}_2 terá sinal negativo.

Passo 3

Descrever o estado pós-colisão:
  • As partículas grudam: massa total combinada M = m_1 + m_2.
  • Velocidade comum após a colisão: \mathbf{v}_f (ou, em componente, v_f, seguindo a escolha de sinal).
Pela conservação do momento (na direção da linha do movimento) obtemos a equação escalar
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f,
onde v_1 e v_2 são os escalares que representam as componentes das velocidades na mesma linha, com sinais apropriados (se escolhemos o sentido de v_1 como positivo, então v_2<0 quando estiver no sentido oposto).

Passo 4

Isolar v_f (passo a passo algébrico):
  • Começamos de
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f.
  • Dividindo ambos os lados por (m_1 + m_2) obtemos
v_f = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}.
Interpretação do sinal:
  • Se o numerador m_1 v_1 + m_2 v_2 for positivo, v_f aponta no sentido escolhido como positivo (p.ex. sentido de \mathbf{v}_1).
  • Se for negativo, v_f aponta no sentido oposto.
  • Se for zero, as massas param juntas após a colisão.

Passo 5

Comentário físico adicional (útil para a prova):
  • Energia cinética não é conservada numa colisão completamente inelástica: parte da energia cinética inicial é dissipada (calor, deformação, som). Não precisamos disso para achar v_f, mas é bom saber por que não usamos conservação de energia.
  • A fórmula derivada é geral para colisões completamente inelásticas em uma dimensão colinear; basta tratar as velocidades com sinais corretos.
Exemplo numérico rápido (para fixar):
  • Tome m_1=2\\ \text{kg}, v_1=3\\ \text{m/s} (positiva), m_2=1\\ \text{kg}, v_2=-2\\ \text{m/s} (negativa porque é no sentido oposto).
  • Então
v_f=\frac{2\cdot 3 + 1\cdot(-2)}{2+1}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}\\ \text{m/s},
isto é, 1,\overline{3}\\ \text{m/s} no sentido de v_1.

Resposta

v_f=\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

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