( 3,0 pontos) (Colisões): Duas partículas de massas
e
, com velocidades iniciais
e
vão colidir sobre uma mesa sem atrito. Considere que a colisão seja completamente inelástica para encontrar a velocidade delas quando:
(a) (1,5 ponto):
e
estão na mesma direção, mas em sentidos opostos
(a) (1,5 ponto):
Passo 1
O enunciado dá duas partículas com massas
e
e velocidades iniciais
e
que colidem sobre uma mesa sem atrito. A colisão é completamente inelástica (elas ficam presas uma na outra). A pergunta (a) pede a velocidade final delas quando
e
estão na mesma direção, mas em sentidos opostos.
Informações relevantes:
- Massas:
, . - Velocidades iniciais:
, (colineares, sentidos opostos). - Colisão: completamente inelástica (pos-colisão: as duas massas movem-se juntas).
- Mesa sem atrito: não há força externa horizontal relevante.
O que é pedido:
- Encontrar a velocidade final (vetorial ou escalar com sinal) do conjunto após a colisão.
Passo 2
Princípio físico a usar (explicação didática): conservação do momento linear.
- Em um sistema isolado (aqui: sem atrito, nenhuma força externa horizontal significativa), o momento linear total se conserva durante a colisão.
- Momento linear de uma partícula: é o produto da massa pela velocidade. Em notação vetorial:
. - Para o sistema das duas partículas, a condição de conservação do momento vetorial é
onde
é a velocidade comum depois que elas grudam.
Observação sobre vetores e sentidos:
- Como
e são colineares (mesma linha) e em sentidos opostos, podemos tratar a situação usando uma única componente escalar com sinal: escolhemos um sentido como positivo (por exemplo, o sentido de ). Então a velocidade escalar correspondente a terá sinal negativo.
Passo 3
Descrever o estado pós-colisão:
- As partículas grudam: massa total combinada
. - Velocidade comum após a colisão:
(ou, em componente, , seguindo a escolha de sinal).
Pela conservação do momento (na direção da linha do movimento) obtemos a equação escalar
onde
e
são os escalares que representam as componentes das velocidades na mesma linha, com sinais apropriados (se escolhemos o sentido de
como positivo, então
quando estiver no sentido oposto).
Passo 4
Isolar
(passo a passo algébrico):
- Começamos de
- Dividindo ambos os lados por
obtemos
Interpretação do sinal:
- Se o numerador
for positivo, aponta no sentido escolhido como positivo (p.ex. sentido de ). - Se for negativo,
aponta no sentido oposto. - Se for zero, as massas param juntas após a colisão.
Passo 5
Comentário físico adicional (útil para a prova):
- Energia cinética não é conservada numa colisão completamente inelástica: parte da energia cinética inicial é dissipada (calor, deformação, som). Não precisamos disso para achar
, mas é bom saber por que não usamos conservação de energia. - A fórmula derivada é geral para colisões completamente inelásticas em uma dimensão colinear; basta tratar as velocidades com sinais corretos.
Exemplo numérico rápido (para fixar):
- Tome
, (positiva), , (negativa porque é no sentido oposto). - Então
isto é,
no sentido de
.