Uma esfera condutora de raio " a " carregada com uma carga q é colocada em um campo elétrico uniforme \mathrm{E}_{0}. Ache o potencial dentro e fora da esfera, utilizando o método de separação de variáveis.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que temos):
  • Uma esfera condutora de raio a carregada com carga total q é colocada em um campo elétrico uniforme \mathrm{E}_0.
  • O campo uniforme vale \mathrm{E}_0 na direção do eixo z (podemos escolher esse eixo como o eixo do problema).
  • Pedido: encontrar o potencial elétrico dentro e fora da esfera, usando separação de variáveis.
  • Informações úteis extraídas do enunciado: a esfera é condutora (logo o potencial dentro do condutor é constante e o campo elétrico interno é nulo) e a carga total da esfera é q (isso impõe o termo monopolar à distância).
  • Comportamento no infinito: a presença do campo externo uniforme implica que, para r\to\infty, o potencial deve tender ao potencial associado ao campo uniforme mais o termo devido à carga total (ou seja, deve conter um termo proporcional a -\mathrm{E}_0 r\cos\theta e o termo monopolar \propto 1/r).

Passo 2

Escolha de coordenadas e formulação do problema por separação de variáveis:
  • Como o problema tem simetria axial em torno do eixo do campo (esfera + campo uniforme ao longo de z), usemos coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) e assumimos independência de \varphi.
  • Em regiões sem carga (interior do condutor, exceto a superfície, e região externa, exceto a superfície), o potencial satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^2 \Phi(r,\theta)=0.
  • A solução geral, por separação de variáveis com simetria azimutal, é a expansão em polinômios de Legendre:
\Phi(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\Big(A_l r^l + B_l r^{-l-1}\Big)P_l(\cos\theta),
onde P_l é o polinômio de Legendre de ordem l, e os coeficientes A_l,B_l são determinados pelas condições de contorno.

Passo 3

Comportamento físico nas regiões e simplificações da expansão:
  • Região interna ( r<a, interior da esfera condutora): o campo elétrico é nulo, então o potencial é constante em toda a região interna. Assim a expansão interna deve ser simplesmente
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=C_0,
ou seja, todos os coeficientes que gerariam dependência angular ou em r devem ser nulos. (Explicação didática: em um condutor em equilíbrio eletrostático, cargas se rearranjam até que \mathbf{E}=0 no interior; como \mathbf{E}=-\nabla\Phi, isso implica \Phi= constante.)
  • Região externa ( r>a): devemos ajustar a expansão para coincidir com o comportamento no infinito: para r\to\infty o potencial deve conter o termo do campo uniforme e o monopolo da carga total:
    • O potencial associado ao campo uniforme \mathrm{E}_0 (no sentido de que \mathbf{E}\to \mathrm{E}_0\hat{z}) é \Phi_{\text{ext, uniform}}\to -\mathrm{E}_0 r\cos\theta (pois \mathbf{E}=-\nabla\Phi leva a \mathbf{E}=\mathrm{E}_0\hat z se \Phi=-\mathrm{E}_0 r\cos\theta).
    • O monopolo devido à carga total q aparece como \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}.
  • Portanto, para r\to\infty a expansão externa deve ter A_1=-\mathrm{E}_0 (para o termo em r P_1(\cos\theta)) e o coeficiente do termo 1/r (isto é, B_0) deve ser B_0=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}. Todos os demais termos que crescem com r^l para l\ge2 devem ser nulos para não divergirem de forma incompatível com o campo uniforme. Concluímos que apenas os termos l=0 e l=1 são necessários externamente:
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=A_0 + A_1 r P_1(\cos\theta) + \frac{B_0}{r} + \frac{B_1}{r^{2}}P_1(\cos\theta).
  • Usando P_1(\cos\theta)=\cos\theta e as identidades acima: A_1=-\mathrm{E}_0 e B_0=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}. O termo A_0 é uma constante que podemos absorver no potencial da esfera (mas veremos que a condição de equipotencial na superfície fixa esse valor).

Passo 4

Imposição da condição de equipotencial na superfície do condutor r=a:
  • Como a superfície é condutora, o potencial na superfície r=a é constante (independentemente de \theta). Vamos chamar esse valor de V_0. Então, para todo \theta,
\Phi_{\text{out}}(a,\theta)=\Phi_{\text{in}}(a,\theta)=V_0.
  • Substituindo as formas reduzidas (apenas l=0,1) e lembrando P_1(\cos\theta)=\cos\theta, temos para r=a:
V_0 = A_0 + \Big(-\mathrm{E}_0 a + \frac{B_1}{a^{2}}\Big)\cos\theta + \frac{B_0}{a}.
  • Para que V_0 seja independente de \theta, o coeficiente de \cos\theta deve ser zero. Assim obtemos a condição
-\mathrm{E}_0 a + \frac{B_1}{a^{2}} = 0.
  • Isolando B_1:
B_1 = \mathrm{E}_0 a^{3}.

Passo 5

Determinação do termo monopolar B_0 e do potencial interno V_0:
  • O coeficiente B_0 corresponde ao termo monopolar \dfrac{B_0}{r}. Comparando com o potencial de uma carga pontual total q visto de fora, temos
\frac{B_0}{r} \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},
portanto
B_0=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}.
  • Substituindo r=a na parte monopolar da expressão de \Phi_{\text{out}} e usando que o termo em \cos\theta ficou nulo, obtemos o potencial constante na superfície:
V_0 = A_0 + \frac{B_0}{a}.
  • Podemos escolher a constante A_0=0 incorporando-a em V_0 (o que é apenas uma escolha de referência de potencial). Sendo prático, tomamos A_0=0, então
V_0 = \frac{B_0}{a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{a}.
  • Observação física: esse V_0 é exatamente o potencial que uma esfera condutora isolada e carregada com carga q teria se não houvesse campo externo. A presença do campo externo não altera o potencial uniforme interno — apenas altera a distribuição superficial (e gera dipolo induzido) de modo a manter a superfície equipotencial.

Passo 6

Escrevendo explicitamente as soluções finalizadas (potencial externo e interno):
  • Já temos todos os coeficientes necessários:
    • A_1=-\mathrm{E}_0,
    • B_1=\mathrm{E}_0 a^{3},
    • B_0=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0},
    • escolhemos A_0=0,
    • e \Phi_{\text{in}}(r,\theta)=V_0=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 a}.
  • Substituindo na expansão externa e usando P_1(\cos\theta)=\cos\theta, obtemos para r\ge a:
\Phi_{\text{out}}(r,\theta) = -\mathrm{E}_0 r\cos\theta + \frac{\mathrm{E}_0 a^{3}}{r^{2}}\cos\theta + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}.
  • Para r\le a (dentro da esfera condutora), como já dito:
\Phi_{\text{in}}(r,\theta) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{a}\quad\text{(constante).}

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Termo -\mathrm{E}_0 r\cos\theta representa o potencial do campo uniforme aplicado.
  • Termo \dfrac{\mathrm{E}_0 a^{3}}{r^{2}}\cos\theta é o dipolo induzido pela esfera no campo externo (decai como 1/r^{2} em potencial, correspondendo a campo dipolar \propto 1/r^{3}). Note que o sinal e valor B_1=\mathrm{E}_0 a^3 garantem que na superfície a parte angular some com -\mathrm{E}_0 a\cos\theta deixando potencial independente de \theta.
  • Termo \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r} é o monopolo devido à carga total q.
  • A solução satisfaz a condição de equipotencial na superfície e o comportamento no infinito. Além disso, dentro do condutor o campo é zero (potencial constante), como exigido.

Resposta

\displaystyle \Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{a}\quad (r\le a)\n
\displaystyle \Phi_{\text{out}}(r,\theta)=-\mathrm{E}_0 r\cos\theta+\frac{\mathrm{E}_0 a^{3}}{r^{2}}\cos\theta+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}\quad (r\ge a)

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