Uma esfera condutora de raio "
" carregada com uma carga q é colocada em um campo elétrico uniforme
. Ache o potencial dentro e fora da esfera, utilizando o método de separação de variáveis.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que temos):
- Uma esfera condutora de raio
carregada com carga total é colocada em um campo elétrico uniforme . - O campo uniforme vale
na direção do eixo (podemos escolher esse eixo como o eixo do problema). - Pedido: encontrar o potencial elétrico dentro e fora da esfera, usando separação de variáveis.
- Informações úteis extraídas do enunciado: a esfera é condutora (logo o potencial dentro do condutor é constante e o campo elétrico interno é nulo) e a carga total da esfera é
(isso impõe o termo monopolar à distância). - Comportamento no infinito: a presença do campo externo uniforme implica que, para
, o potencial deve tender ao potencial associado ao campo uniforme mais o termo devido à carga total (ou seja, deve conter um termo proporcional a e o termo monopolar ).
Passo 2
Escolha de coordenadas e formulação do problema por separação de variáveis:
- Como o problema tem simetria axial em torno do eixo do campo (esfera + campo uniforme ao longo de
), usemos coordenadas esféricas e assumimos independência de . - Em regiões sem carga (interior do condutor, exceto a superfície, e região externa, exceto a superfície), o potencial satisfaz a equação de Laplace:
- A solução geral, por separação de variáveis com simetria azimutal, é a expansão em polinômios de Legendre:
onde
é o polinômio de Legendre de ordem
, e os coeficientes
são determinados pelas condições de contorno.
Passo 3
Comportamento físico nas regiões e simplificações da expansão:
- Região interna (
, interior da esfera condutora): o campo elétrico é nulo, então o potencial é constante em toda a região interna. Assim a expansão interna deve ser simplesmente
ou seja, todos os coeficientes que gerariam dependência angular ou em
devem ser nulos. (Explicação didática: em um condutor em equilíbrio eletrostático, cargas se rearranjam até que
no interior; como
, isso implica
constante.)
- Região externa (
): devemos ajustar a expansão para coincidir com o comportamento no infinito: para o potencial deve conter o termo do campo uniforme e o monopolo da carga total: - O potencial associado ao campo uniforme
(no sentido de que ) é (pois leva a se ). - O monopolo devido à carga total
aparece como .
- O potencial associado ao campo uniforme
- Portanto, para
a expansão externa deve ter (para o termo em ) e o coeficiente do termo (isto é, ) deve ser . Todos os demais termos que crescem com para devem ser nulos para não divergirem de forma incompatível com o campo uniforme. Concluímos que apenas os termos e são necessários externamente:
- Usando
e as identidades acima: e . O termo é uma constante que podemos absorver no potencial da esfera (mas veremos que a condição de equipotencial na superfície fixa esse valor).
Passo 4
Imposição da condição de equipotencial na superfície do condutor
:
- Como a superfície é condutora, o potencial na superfície
é constante (independentemente de ). Vamos chamar esse valor de . Então, para todo ,
- Substituindo as formas reduzidas (apenas
) e lembrando , temos para :
- Para que
seja independente de , o coeficiente de deve ser zero. Assim obtemos a condição
- Isolando
:
Passo 5
Determinação do termo monopolar
e do potencial interno
:
- O coeficiente
corresponde ao termo monopolar . Comparando com o potencial de uma carga pontual total visto de fora, temos
portanto
- Substituindo
na parte monopolar da expressão de e usando que o termo em ficou nulo, obtemos o potencial constante na superfície:
- Podemos escolher a constante
incorporando-a em (o que é apenas uma escolha de referência de potencial). Sendo prático, tomamos , então
- Observação física: esse
é exatamente o potencial que uma esfera condutora isolada e carregada com carga teria se não houvesse campo externo. A presença do campo externo não altera o potencial uniforme interno — apenas altera a distribuição superficial (e gera dipolo induzido) de modo a manter a superfície equipotencial.
Passo 6
Escrevendo explicitamente as soluções finalizadas (potencial externo e interno):
- Já temos todos os coeficientes necessários:
-
, -
, -
, - escolhemos
, - e
.
-
- Substituindo na expansão externa e usando
, obtemos para :
- Para
(dentro da esfera condutora), como já dito:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
- Termo
representa o potencial do campo uniforme aplicado. - Termo
é o dipolo induzido pela esfera no campo externo (decai como em potencial, correspondendo a campo dipolar ). Note que o sinal e valor garantem que na superfície a parte angular some com deixando potencial independente de . - Termo
é o monopolo devido à carga total . - A solução satisfaz a condição de equipotencial na superfície e o comportamento no infinito. Além disso, dentro do condutor o campo é zero (potencial constante), como exigido.