Uma esfera condutora tem diâmetro D e está carregada negativamente, com densidade superficial de carga -sigma (constante). Determine o fluxo elétrico e o módulo do campo elétrico na superfície da esfera.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera condutora com diâmetro $ D $ que está carregada negativamente, com uma densidade superficial de carga $ -\sigma $. A gente precisa calcular duas coisas: o fluxo elétrico que passa pela superfície da esfera e o módulo do campo elétrico nessa mesma superfície. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como essa de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico $ \Phi_E $ é basicamente uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada área. Matematicamente, é dado por:
PhiE
Onde $ \vec{E} $ é o campo elétrico e $ d\vec{A} $ é um elemento de área na superfície.

Passo 3

Agora, a Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica $ \epsilon_0 $:
epsilon0
Aqui, $ Q_{total} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

No nosso caso, a esfera condutora tem uma densidade superficial de carga $ -\sigma $ e um diâmetro $ D $, então o raio $ R $ da esfera é $ R = \frac{D}{2} $. A carga total $ Q_{total} $ na esfera é então:
-sigma
Isso porque a área de uma esfera é $ 4\pi R^2 $.

Passo 5

Substituindo $ Q_{total} $ na fórmula da Lei de Gauss, temos:
Qtotal
Então, o fluxo elétrico que passa pela superfície da esfera é:
PhiE = -sigma times 4pi R^2epsilon0

Passo 6

Agora, para encontrar o campo elétrico $ E $ na superfície da esfera, vamos usar a simetria do problema. Como a esfera é condutora e carregada de forma uniforme, o campo elétrico na superfície é perpendicular à superfície e tem o mesmo módulo em todos os pontos.
Sabemos que o fluxo elétrico também pode ser escrito como:
E
Comparando com a expressão anterior, temos:
PhiE = E times 4pi R^2

Passo 7

Simplificando a equação para encontrar $ E $:
E
Então, o módulo do campo elétrico na superfície da esfera é:
E = -sigmaepsilon0

Resposta

O fluxo elétrico na superfície da esfera é $ \Phi_E = \frac{-4\pi R^2 \sigma}{\epsilon_0} $ e o módulo do campo elétrico na superfície é $ |E| = \frac{\sigma}{\epsilon_0} $.

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