Qual deve ser a velocidade de uma esfera de alumínio com raio igual a 2,0 mm se deslocando em óleo de rícino a 20^circ C para que a força de arraste devido a viscosidade seja igual a um quarto do peso da esfera? Considere a viscosidade do óleo de rícino para esta temperatura igual a 9,86 poise.

Passo 1

Vamos resolver um problema de física envolvendo viscosidade e força de arraste. Temos uma esfera de alumínio com raio de 2,0 mm que se move em óleo de rícino a 20°C. Queremos descobrir qual deve ser a velocidade dessa esfera para que a força de arraste causada pela viscosidade do óleo seja igual a um quarto do peso da esfera. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas relacionadas à força de arraste em fluidos viscosos e calcular o peso da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso da esfera. O peso § é dado pela fórmula:
P = m cdot g
onde:
  • V = 43 pi r^3 é a massa da esfera
  • r = 2,0 , mm = 2,0 times 10^-3 , m é a aceleração da gravidade (aproximadamente V = 43 pi (2,0 times 10^-3)^3 approx 3,35 times 10^-8 , m^3 )
Para encontrar a massa, usamos a densidade do alumínio ( m = rho cdot V = 2700 , kg/m^3 times 3,35 times 10^-8 , m^3 approx 9,05 times 10^-5 , kg ) e o volume da esfera ( P = 9,05 times 10^-5 , kg times 9,81 , m/s^2 approx 8,88 times 10^-4 , N ):
Convertendo o raio de 2,0 mm para metros:
Calculando o volume:
Agora, a massa:
E o peso:

Passo 3

Queremos que a força de arraste ( Farraste = 14 P approx 14 times 8,88 times 10^-4 , N approx 2,22 times 10^-4 , N ) seja um quarto do peso da esfera:

Passo 4

A força de arraste em um fluido viscoso para baixas velocidades (Regime de Stokes) é dada por:
Farraste = 6 pi eta r v
onde:
  • 1 , poise = 0,1 , Pa cdot s é a viscosidade do óleo
  • eta = 9,86 , poise = 0,986 , Pa cdot s é o raio da esfera
  • é a velocidade que queremos encontrar
Primeiro, precisamos converter a viscosidade de poise para unidades do SI (Pascal-segundo). Sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora, vamos isolar a velocidade ( v = Farraste6 pi eta r ) na fórmula da força de arraste:
v = 2,22 times 10^-4 , N6 pi times 0,986 , Pa cdot s times 2,0 times 10^-3 , m
Substituindo os valores:

Passo 6

Calculando o denominador:
6 pi times 0,986 times 2,0 times 10^-3 approx 0,0372 , Pa cdot s cdot m
Então:
v = 2,22 times 10^-40,0372 approx 5,97 times 10^-3 , m/s

Resposta

A velocidade da esfera deve ser aproximadamente .

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