Uma esfera condutora uniformemente carregada \operatorname{com} 1,2 \mathrm{~m} de diâmetro possui uma densidade superficial de cargas de 8,1 \mu C / m^{2}.
Determine o fluxo elétrico através da superfície da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de diâmetro 1,2\\ \mathrm m com densidade superficial de cargas \sigma =8,1\\ \mu\mathrm C/m^{2}. Pede o fluxo elétrico através da superfície da esfera. O conteúdo que vamos usar é a Lei de Gauss, que diz que o fluxo total \Phi através de uma superfície fechada é
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida na superfície e \varepsilon_{0}\approx8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}.

Passo 2

Primeiro calculamos o raio R da esfera e sua área de superfície A.
Como o diâmetro é 1,2\\ \mathrm m, temos
R = \frac{1,2\\ \mathrm m}{2} = 0,6\\ \mathrm m.
A área da esfera é
A = 4\pi R^{2} = 4\pi\,(0,6\\ \mathrm m)^{2} = 1{,}44\pi\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos a carga total Q espalhada na superfície, usando
Q = \sigma\,A.
Substituindo \sigma=8,1\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}} e A=1{,}44\pi\\ \mathrm{m^{2}},
Q = 8,1\times10^{-6}\times1{,}44\pi = 11{,}664\pi\times10^{-6}\\ \mathrm C \approx 3{,}66\times10^{-5}\\ \mathrm C.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico pela superfície é
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} = \frac{3{,}66\times10^{-5}\\ \mathrm C}{8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}} \approx 4{,}14\times10^{6}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

Resposta

O fluxo elétrico através da superfície da esfera é aproximadamente
\Phi \approx 4{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

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