Q3.4 Um livro escorrega horizontalmente para fora do topo de uma mesa. Ao sair da borda da mesa, o livro tem uma velocidade horizontal de módulo v_{0}. O livro atinge o solo no instante t. Se a velocidade inicial do livro for dobrada para 2 v_{0}, o que acontece com a velocidade do livro imediatamente antes de atingir o solo? Em particular, cada uma dessas quantidades permanece igual, dobra ou varia de alguma outra maneira? Explique.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento de projeto horizontal: um livro deixa a borda de altura h com velocidade horizontal inicial de módulo v_{0} e atinge o solo no instante t. Como não há aceleração horizontal, a componente horizontal da velocidade permanece constante. No eixo vertical, a velocidade inicial é zero e há aceleração uniforme para baixo igual a g.

Passo 2

Analisando a componente horizontal v_{x}:
Não há aceleração neste eixo, logo
v_{x}(t)=v_{0}.
Se dobrarmos a velocidade inicial para 2v_{0}, teremos
v_{x}(t)=2v_{0}.
Portanto, a componente horizontal da velocidade imediatamente antes do impacto duplica.

Passo 3

Analisando a componente vertical v_{y}:
Partindo de v_{y}(0)=0 e acelerando a g, a velocidade vertical ao tempo t é
v_{y}(t)=-\,g\,t.
O tempo de queda t satisfaz h=\tfrac12gt^2 e depende só de h e g, não de v_{x}. Assim, ao dobrar v_{0}, o tempo de queda e, por consequência, v_{y}(t) permanece igual.

Passo 4

Agora o módulo da velocidade resultante imediatamente antes do impacto é v=\sqrt{v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}.
Originalmente
v_{\rm original}=\sqrt{v_{0}^{2}+(g\,t)^{2}},
e com v_{x}=2v_{0}
v_{\rm nova}=\sqrt{(2v_{0})^{2}+(g\,t)^{2}} =\sqrt{4\,v_{0}^{2}+(g\,t)^{2}}.
Isso mostra que o módulo da velocidade não dobra, mas aumenta segundo a fórmula acima.

Resposta

Com v_{0}\to2v_{0}:
  • Componente horizontal v_{x} dobra.
  • Componente vertical v_{y} permanece igual.
  • Módulo da velocidade resultante aumenta, mas não dobra.

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