Um dipolo elétrico está a uma altura \ell de um plano condutor isolado, posicionado em z=0.
(a) Encontre o potencial em todos os pontos z>0.
(b) Encontre o campo elétrico nestes pontos.
(c) Encontre o torque sobre o dipolo.

Passo 1

O enunciado dá um dipolo elétrico localizado a uma altura \ell acima de um plano condutor infinito que está em z=0. Ele pede três coisas para a região acima do plano ( z>0):
  • (a) o potencial elétrico em todos os pontos com z>0;
  • (b) o campo elétrico nesses pontos;
  • (c) o torque sobre o dipolo.
Informações relevantes e hipóteses que vou usar sem pedir nada a mais (pois o enunciado é típico desse problema):
  • O dipolo é um dipolo pontual com momento dipolar \mathbf{p} localizado em \mathbf{r}_0=(0,0,\ell).
  • O plano condutor é ideal, infinito e isolado, mas como o dipolo tem carga líquida zero a solução para o potencial acima do plano coincide com a solução para o caso em que o plano está aterrado (podemos escolher a referência do potencial de modo que a superfície seja equipotencial zero). Portanto posso aplicar o método das imagens para impor condição de equipotencial na superfície z=0.
  • Vou trabalhar com o sistema de unidades SI; o fator constante será 1/(4\pi\epsilon_0).
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  1. Potencial de um dipolo pontual: para um dipolo de momento \mathbf{p} localizado em \mathbf{r}_0, o potencial em um ponto \mathbf r (fora da origem do dipolo) é
\Phi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)}{|\mathbf r-\mathbf r_0|^3}.
Explicação: pense no dipolo como duas cargas muito próximas; essa expressão é a aproximação para a contribuição delas, escrita em forma vetorial. A variável \mathbf r é o ponto onde avaliamos o potencial, \mathbf r_0 é a posição do dipolo, e \mathbf p é o vetor momento dipolar (módulo e direção).
  1. Método das imagens (ideia): para satisfazer a condição de superfície condutora equipotencial em z=0 podemos substituir o efeito do condutor por cargas (ou dipolos) “imagem” colocadas na região z<0 de modo que a soma do potencial das cargas reais e das imagens seja constante (no caso usual zero) sobre o plano z=0. Para um dipolo pontual com momento \mathbf p em \mathbf r_0=(0,0,\ell) a escolha correta da imagem é outro dipolo em \mathbf r_1=(0,0,-\ell) com momento \mathbf p' tal que a soma dos potenciais anule sobre z=0. Vou explicar e determinar \mathbf p' no passo seguinte.
  2. Campo elétrico de um dipolo: a intensidade do campo produzido por um dipolo pontual \mathbf p no ponto com vetor \mathbf R=\mathbf r-\mathbf r_0 é
\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf R})\hat{\mathbf R}-\mathbf p}{R^3}\right],
onde R=|\mathbf R| e \hat{\mathbf R}=\mathbf R/R. Essa é a derivada do potencial do dipolo, ou seja \mathbf E=-\nabla\Phi.
  1. Torque sobre um dipolo: um dipolo colocado em um campo externo \mathbf E_{\rm ext} sofre um torque \boldsymbol\tau dado por
\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E_{\rm ext}.
No nosso problema a contribuição física para o torque vem do campo criado pela superfície condutora (ou, equivalente por método das imagens, pelo dipolo imagem). O campo do próprio dipolo não gera torque sobre si mesmo.

Passo 3

Determinar o dipolo imagem \mathbf p' que garante \Phi=0 em z=0.
Considere um ponto qualquer sobre o plano z=0, com posição \mathbf r=(x,y,0). Defina \boldsymbol{\rho}=(x,y,0) (vetor no plano). As distâncias do ponto até o dipolo real e até o dipolo imagem têm o mesmo módulo R=\sqrt{\rho^2+\ell^2}, onde \rho=|\boldsymbol\rho|.
Escrevendo \mathbf p=\mathbf p_{||}+p_z\hat{\mathbf z}, onde \mathbf p_{||} é a projeção de \mathbf p no plano xy (componentes paralelas ao plano) e p_z a componente perpendicular (na direção \hat{\mathbf z}), temos para o numerador do potencial do dipolo real (no ponto sobre o plano):
\mathbf p\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=\mathbf p_{||}\cdot\boldsymbol\rho - p_z\ell.
Para um dipolo imagem em \mathbf r_1=(0,0,-\ell) com momento \mathbf p' análogo,
\mathbf p'\cdot(\mathbf r-\mathbf r_1)=\mathbf p'_{||}\cdot\boldsymbol\rho + p'_z\ell.
Como os denominadores são iguais (mesmo R^3), a soma dos potenciais sobre o plano é proporcional a
(\mathbf p_{||}+\mathbf p'_{||})\cdot\boldsymbol\rho +(-p_z + p'_z)\ell.
Para que esse termo seja zero para todo \boldsymbol\rho (isto é, para qualquer x,y) é necessário e suficiente que
\mathbf p'_{||}=-\mathbf p_{||}, \qquad p'_z= p_z.
Logo o dipolo imagem é obtido invertendo as componentes paralelas ao plano e deixando a componente perpendicular igual. Em componentes cartesianas:
\mathbf p' = (-p_x,\,-p_y,\,p_z).
Essa escolha garante \Phi(\mathbf r)=0 para todo \mathbf r com z=0. (Se quiser, dá para substituir e ver a soma se anular ponto a ponto.)

Passo 4

Potencial na região z>0 (resposta do item (a)).
Pela linearidade do potencial e pelo método das imagens, o potencial para z>0 é simplesmente a soma do potencial do dipolo real em \mathbf r_0=(0,0,\ell) e do dipolo imagem em \mathbf r_1=(0,0,-\ell). Assim:
\Phi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)}{|\mathbf r-\mathbf r_0|^3} + \frac{\mathbf p'\cdot(\mathbf r-\mathbf r_1)}{|\mathbf r-\mathbf r_1|^3} \right], \qquad (z>0),
com \mathbf p' = -\mathbf p_{||} + p_z\hat{\mathbf z} e \mathbf r_0=(0,0,\ell), \mathbf r_1=(0,0,-\ell).
Comentário prático: essa é a expressão que você deve memorizar/usar em provas — escreva a soma dos dois potenciais de dipolo. Se precisar de uma forma explícita em coordenadas, é só trocar \mathbf r=(x,y,z) e \mathbf p=(p_x,p_y,p_z) nas expressões acima.

Passo 5

Campo elétrico na região z>0 (resposta do item (b)).
Usando a fórmula do campo de um dipolo e a superposição, o campo total para z>0 é a soma dos campos do dipolo real e do dipolo imagem:
\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf R}_0)\hat{\mathbf R}_0-\mathbf p}{R_0^3} + \frac{3(\mathbf p'\cdot\hat{\mathbf R}_1)\hat{\mathbf R}_1-\mathbf p'}{R_1^3} \right], \qquad (z>0),
onde \mathbf R_0=\mathbf r-\mathbf r_0, R_0=|\mathbf R_0|, \hat{\mathbf R}_0=\mathbf R_0/R_0; e \mathbf R_1=\mathbf r-\mathbf r_1, R_1=|\mathbf R_1|, \hat{\mathbf R}_1=\mathbf R_1/R_1. E lembra que \mathbf p' foi dado no passo anterior.
Observação prática: se precisar do campo em pontos particulares (por exemplo no eixo abaixo do dipolo) é só calcular \mathbf R_0,\mathbf R_1 e essas fórmulas reduzem a expressões simples.

Passo 6

Torque sobre o dipolo (resposta do item (c)) — ideia e execução passo a passo.
  • O torque físico sobre o dipolo real é gerado pelo campo criado pela superfície condutora (ou, pelo método das imagens, pelo dipolo imagem). Portanto o torque é
\boldsymbol\tau=\mathbf p\times \mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0),
onde \mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0) é o campo produzido pelo dipolo imagem avaliado na posição \mathbf r_0=(0,0,\ell) do dipolo real.
  • Calcule \mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0). A posição relativa do dipolo imagem em relação ao dipolo real é \mathbf R=\mathbf r_0-\mathbf r_1=(0,0,2\ell). Ou seja, o dipolo imagem está ao longo do eixo z a uma distância 2\ell. Então \hat{\mathbf R}=\hat{\mathbf z} e R=2\ell.
  • Use a fórmula do campo de dipolo colocando \mathbf p' = -\mathbf p_{||} + p_z\hat{\mathbf z}:
\mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{3(\mathbf p'\cdot\hat{\mathbf z})\hat{\mathbf z}-\mathbf p'}{(2\ell)^3}\right].
Como \mathbf p'\cdot\hat{\mathbf z}=p_z, isso fica
\mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{3p_z\hat{\mathbf z}-(-\mathbf p_{||}+p_z\hat{\mathbf z})}{8\ell^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf p_{||}+2p_z\hat{\mathbf z}}{8\ell^3}.
Reorganizando o fator numérico,
\mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0)=\frac{1}{32\pi\epsilon_0\ell^3}\big(\mathbf p_{||}+2p_z\hat{\mathbf z}\big).
  • Agora o torque:
\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0) =\frac{1}{32\pi\epsilon_0\ell^3}\,\mathbf p\times\big(\mathbf p_{||}+2p_z\hat{\mathbf z}\big).
Fazendo a álgebra vetorial e lembrando que \mathbf p=\mathbf p_{||}+p_z\hat{\mathbf z}, obtém-se (simplificando os termos):
\boldsymbol\tau=\frac{p_z}{32\pi\epsilon_0\ell^3}\,(\mathbf p_{||}\times\hat{\mathbf z}).
Esta é uma forma compacta e explícita: o torque é proporcional ao produto da componente perpendicular p_z pela componente paralela \mathbf p_{||}, e sempre está na direção perpendicular ao plano definido por \mathbf p_{||} e \hat{\mathbf z}.
  • Se quiser a magnitude do torque quando \mathbf p tem magnitude p e faz um ângulo \theta com o eixo z (isto é, p_z=p\cos\theta, |\mathbf p_{||}|=p\sin\theta), então
|\boldsymbol\tau|=\frac{1}{32\pi\epsilon_0\ell^3}\,p_z\,|\mathbf p_{||}| =\frac{p^2\sin\theta\cos\theta}{32\pi\epsilon_0\ell^3} =\frac{p^2\sin(2\theta)}{64\pi\epsilon_0\ell^3}.
A direção é perpendicular ao plano contendo \mathbf p e \hat{\mathbf z} (por exemplo, se \mathbf p estiver no plano xz, o torque aponta ao longo de \pm\hat{\mathbf y} conforme o sinal de \sin(2\theta)).

Resposta

(a) \displaystyle \Phi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r-(0,0,\ell))}{|\mathbf r-(0,0,\ell)|^3} + \frac{\mathbf p'\cdot(\mathbf r-(0,0,-\ell))}{|\mathbf r-(0,0,-\ell)|^3} \right],\quad z>0, onde \mathbf p'=-\mathbf p_{||}+p_z\hat{\mathbf z} (isto é, p'_x=-p_x,\;p'_y=-p_y,\;p'_z=p_z).\n
(b) \displaystyle \mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf R}_0)\hat{\mathbf R}_0-\mathbf p}{R_0^3} + \frac{3(\mathbf p'\cdot\hat{\mathbf R}_1)\hat{\mathbf R}_1-\mathbf p'}{R_1^3} \right],\quad z>0, com \mathbf R_0=\mathbf r-(0,0,\ell), \mathbf R_1=\mathbf r-(0,0,-\ell) e \mathbf p' como acima.\n
(c) \displaystyle \boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E_{\rm image}(\mathbf r_0) =\frac{1}{32\pi\epsilon_0\ell^3}\,\mathbf p\times\big(\mathbf p_{||}+2p_z\hat{\mathbf z}\big) =\frac{p_z}{32\pi\epsilon_0\ell^3}\,(\mathbf p_{||}\times\hat{\mathbf z}).
Em particular, se |\mathbf p|=p e \theta é o ângulo entre \mathbf p e o eixo z, então |\boldsymbol\tau|=\dfrac{p^2\sin(2\theta)}{64\pi\epsilon_0\ell^3}.

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