Um dipolo elétrico está a uma altura
de um plano condutor isolado, posicionado em
.
(a) Encontre o potencial em todos os pontos
.
(b) Encontre o campo elétrico nestes pontos.
(c) Encontre o torque sobre o dipolo.
(a) Encontre o potencial em todos os pontos
(b) Encontre o campo elétrico nestes pontos.
(c) Encontre o torque sobre o dipolo.
Passo 1
O enunciado dá um dipolo elétrico localizado a uma altura
acima de um plano condutor infinito que está em
. Ele pede três coisas para a região acima do plano (
):
- (a) o potencial elétrico em todos os pontos com
; - (b) o campo elétrico nesses pontos;
- (c) o torque sobre o dipolo.
Informações relevantes e hipóteses que vou usar sem pedir nada a mais (pois o enunciado é típico desse problema):
- O dipolo é um dipolo pontual com momento dipolar
localizado em . - O plano condutor é ideal, infinito e isolado, mas como o dipolo tem carga líquida zero a solução para o potencial acima do plano coincide com a solução para o caso em que o plano está aterrado (podemos escolher a referência do potencial de modo que a superfície seja equipotencial zero). Portanto posso aplicar o método das imagens para impor condição de equipotencial na superfície
. - Vou trabalhar com o sistema de unidades SI; o fator constante será
.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática e passo a passo):
- Potencial de um dipolo pontual: para um dipolo de momento
localizado em , o potencial em um ponto (fora da origem do dipolo) é
Explicação: pense no dipolo como duas cargas muito próximas; essa expressão é a aproximação para a contribuição delas, escrita em forma vetorial. A variável
é o ponto onde avaliamos o potencial,
é a posição do dipolo, e
é o vetor momento dipolar (módulo e direção).
-
Método das imagens (ideia): para satisfazer a condição de superfície condutora equipotencial em
podemos substituir o efeito do condutor por cargas (ou dipolos) “imagem” colocadas na região de modo que a soma do potencial das cargas reais e das imagens seja constante (no caso usual zero) sobre o plano . Para um dipolo pontual com momento em a escolha correta da imagem é outro dipolo em com momento tal que a soma dos potenciais anule sobre . Vou explicar e determinar no passo seguinte. -
Campo elétrico de um dipolo: a intensidade do campo produzido por um dipolo pontual
no ponto com vetor é
onde
e
. Essa é a derivada do potencial do dipolo, ou seja
.
- Torque sobre um dipolo: um dipolo colocado em um campo externo
sofre um torque dado por
No nosso problema a contribuição física para o torque vem do campo criado pela superfície condutora (ou, equivalente por método das imagens, pelo dipolo imagem). O campo do próprio dipolo não gera torque sobre si mesmo.
Passo 3
Determinar o dipolo imagem
que garante
em
.
Considere um ponto qualquer sobre o plano
, com posição
. Defina
(vetor no plano). As distâncias do ponto até o dipolo real e até o dipolo imagem têm o mesmo módulo
, onde
.
Escrevendo
, onde
é a projeção de
no plano
(componentes paralelas ao plano) e
a componente perpendicular (na direção
), temos para o numerador do potencial do dipolo real (no ponto sobre o plano):
Para um dipolo imagem em
com momento
análogo,
Como os denominadores são iguais (mesmo
), a soma dos potenciais sobre o plano é proporcional a
Para que esse termo seja zero para todo
(isto é, para qualquer
) é necessário e suficiente que
Logo o dipolo imagem é obtido invertendo as componentes paralelas ao plano e deixando a componente perpendicular igual. Em componentes cartesianas:
Essa escolha garante
para todo
com
. (Se quiser, dá para substituir e ver a soma se anular ponto a ponto.)
Passo 4
Potencial na região
(resposta do item (a)).
Pela linearidade do potencial e pelo método das imagens, o potencial para
é simplesmente a soma do potencial do dipolo real em
e do dipolo imagem em
. Assim:
com
e
,
.
Comentário prático: essa é a expressão que você deve memorizar/usar em provas — escreva a soma dos dois potenciais de dipolo. Se precisar de uma forma explícita em coordenadas, é só trocar
e
nas expressões acima.
Passo 5
Campo elétrico na região
(resposta do item (b)).
Usando a fórmula do campo de um dipolo e a superposição, o campo total para
é a soma dos campos do dipolo real e do dipolo imagem:
onde
,
,
; e
,
,
. E lembra que
foi dado no passo anterior.
Observação prática: se precisar do campo em pontos particulares (por exemplo no eixo abaixo do dipolo) é só calcular
e essas fórmulas reduzem a expressões simples.
Passo 6
Torque sobre o dipolo (resposta do item (c)) — ideia e execução passo a passo.
- O torque físico sobre o dipolo real é gerado pelo campo criado pela superfície condutora (ou, pelo método das imagens, pelo dipolo imagem). Portanto o torque é
onde
é o campo produzido pelo dipolo imagem avaliado na posição
do dipolo real.
-
Calcule
. A posição relativa do dipolo imagem em relação ao dipolo real é . Ou seja, o dipolo imagem está ao longo do eixo a uma distância . Então e . -
Use a fórmula do campo de dipolo colocando
:
Como
, isso fica
Reorganizando o fator numérico,
- Agora o torque:
Fazendo a álgebra vetorial e lembrando que
, obtém-se (simplificando os termos):
Esta é uma forma compacta e explícita: o torque é proporcional ao produto da componente perpendicular
pela componente paralela
, e sempre está na direção perpendicular ao plano definido por
e
.
- Se quiser a magnitude do torque quando
tem magnitude e faz um ângulo com o eixo (isto é, , ), então
A direção é perpendicular ao plano contendo
e
(por exemplo, se
estiver no plano
, o torque aponta ao longo de
conforme o sinal de
).
Resposta
(a)
onde
(isto é,
).\n
(b) com
,
e
como acima.\n
(c)
Em particular, se e
é o ângulo entre
e o eixo
, então
.
(b)
(c)
Em particular, se