Uma esfera dielétrica de raio a e constante dielétrica \epsilon_{1} é colocada em um líquido dielétrico de extensão infinita e constante dielétrica \epsilon_{2}. Um campo elétrico uniforme \vec{E} estava originalmente presente no líquido. Determine o campo elétrico resultante dentro e fora da esfera. (Dica: use a solução da equação de Laplace para encontrar o potencial dentro e fora da esfera.)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
  • Uma esfera de raio a com constante dielétrica \epsilon_{1} está imersa num líquido (meio infinito) com constante dielétrica \epsilon_{2}.
  • No meio, antes de colocar a esfera, havia um campo elétrico uniforme \vec{E}_0. (Escolheremos \vec{E}_0 = E_0\hat{z} sem perda de generalidade.)
  • Não há cargas livres na superfície da esfera (situação usual de contato dielétrico sem cargas livres).
    O enunciado pede:
  • Determinar o campo elétrico resultante dentro da esfera (para r<a).
  • Determinar o campo elétrico resultante fora da esfera (para r>a), em função de \vec{E}_0, \epsilon_1, \epsilon_2, a e das coordenadas.

Passo 2

Escolha do potencial e formas gerais (por que usar Laplace e quais funções escolher):
  • Em regime estático sem cargas livres no volume, o potencial eletrostático satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^{2}\Phi=0.
  • Pelo enunciado há simetria de revolução em torno da direção do campo uniforme; portanto é conveniente usar coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com o eixo z alinhado a \vec{E}_0. A solução será independente de \varphi e depende apenas de r e \theta.
  • A solução geral regular em r=0 e simétrica para termos de baixa ordem usa a expansão em harmônicos esféricos. Como o campo externo é dipolar (campo uniforme corresponde ao termo l=1 em potencial), só aparecem termos com P_1(\cos\theta)=\cos\theta.
  • Assim tomamos as formas mais simples compatíveis com comportamento no infinito e regularidade na origem:
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)= -A\, r\cos\theta\qquad (r<a),
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)= -E_{0}\, r\cos\theta + \frac{C}{r^{2}}\cos\theta\qquad (r>a),
onde A e C são constantes a determinar. Observações didáticas:
  • O termo -E_0 r\cos\theta garante que, quando r\to\infty, o potencial tende ao correspondente ao campo uniforme \vec{E}_0.
  • O termo \propto r no interior é regular em r=0; termos \propto r^{-2} seriam singulares no interior e, portanto, não são admitidos para r<a.
  • O termo \propto r^{-2} no exterior é o potencial de um dipolo induzido pela esfera polarizável.

Passo 3

Condições de contorno no limite r=a: continuidade do potencial
  • A primeira condição de contorno física é a continuidade do potencial elétrico na superfície:
\Phi_{\text{in}}(a,\theta)=\Phi_{\text{out}}(a,\theta).
Substituindo as formas escolhidas:
- A a \cos\theta = -E_0 a \cos\theta + \frac{C}{a^{2}}\cos\theta.
Cancelando \cos\theta (válido para todo \theta) e isolando C:
- A a = -E_0 a + \frac{C}{a^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{C}{a^{2}} = a(E_0 - A) \quad\Rightarrow\quad C = a^{3}(E_0 - A).

Passo 4

Segunda condição de contorno: continuidade da componente normal de \vec{D}=\epsilon\vec{E}
  • A componente normal de \vec{D} é contínua na ausência de carga de superfície livre:
\epsilon_{1} E_{r}^{(\text{in})}(a,\theta) \;=\; \epsilon_{2} E_{r}^{(\text{out})}(a,\theta).
  • Calculamos as componentes radiais de \vec{E}=-\nabla\Phi.
    Para o interior:
\Phi_{\text{in}}=-A r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial\Phi_{\text{in}}}{\partial r}=-A\cos\theta \quad\Rightarrow\quad E_{r}^{(\text{in})}=-\frac{\partial\Phi_{\text{in}}}{\partial r}=A\cos\theta.
Para o exterior:
\Phi_{\text{out}}=-E_{0} r\cos\theta + C r^{-2}\cos\theta
\frac{\partial\Phi_{\text{out}}}{\partial r} = -E_{0}\cos\theta -2C r^{-3}\cos\theta \quad\Rightarrow\quad E_{r}^{(\text{out})}= -\frac{\partial\Phi_{\text{out}}}{\partial r}= E_{0}\cos\theta + 2C r^{-3}\cos\theta.
Avalie em r=a e use C=a^{3}(E_0-A):
E_{r}^{(\text{out})}(a,\theta)=E_{0}\cos\theta + 2\frac{C}{a^{3}}\cos\theta =E_{0}\cos\theta + 2(E_0 - A)\cos\theta = (3E_0 - 2A)\cos\theta.
  • Agora imponha \epsilon_{1}E_{r}^{(\text{in})}=\epsilon_{2}E_{r}^{(\text{out})}:
\epsilon_{1} A \cos\theta = \epsilon_{2} (3E_0 - 2A)\cos\theta.
Cancela \cos\theta e resolva para A:
\epsilon_{1} A = 3\epsilon_{2}E_0 - 2\epsilon_{2}A \quad\Rightarrow\quad A(\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}) = 3\epsilon_{2}E_0
\boxed{\,A = \dfrac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\,E_0\,.}
  • Usando C=a^{3}(E_0-A) obtemos
\boxed{\,C = a^{3}E_0\;\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\,.}

Passo 5

Encontrar os campos elétricos explícitos (usar \vec{E}=-\nabla\Phi e escrever em forma vetorial)
  • Campo dentro ( r<a):
    • Substituindo A em \Phi_{\text{in}}:
    \Phi_{\text{in}}(r,\theta) = -\left(\dfrac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}E_0\right) r\cos\theta.
    • Então o campo é uniforme (independente de r):
    \vec{E}_{\text{in}} = -\nabla\Phi_{\text{in}} = A\hat{z} = \left(\dfrac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}E_0\right)\hat{z}.
    • Em componentes esféricas nota-se que isto equivale a E_{r}^{(\text{in})}=A\cos\theta, E_{\theta}^{(\text{in})}=-A\sin\theta, ou simplesmente um campo uniforme paralelo a \vec{E}_0.
  • Campo fora ( r>a):
    • Potencial externo com C:
    \Phi_{\text{out}}(r,\theta)= -E_0 r\cos\theta + a^{3}E_0\;\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\;\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
    • Derivando para obter \vec{E}_{\text{out}}=-\nabla\Phi_{\text{out}} e organizando, obtemos (forma em coordenadas esféricas):
    E_{r}^{(\text{out})} = E_0\cos\theta + 2E_0\;\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\; \frac{a^{3}}{r^{3}}\cos\theta,
E_{\theta}^{(\text{out})} = -E_0\sin\theta + E_0\;\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\; \frac{a^{3}}{r^{3}}\sin\theta.
  • Em forma vetorial mais compacta (soma do campo uniforme com o campo de um dipolo induzido):
\boxed{\,\vec{E}_{\text{out}}(\vec{r}) = \vec{E}_0 \;+\; E_0\;\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\; a^{3}\; \frac{3(\hat{r}\cdot\hat{z})\hat{r}-\hat{z}}{r^{3}}\quad (r>a).\,}
  • Aqui \hat{z} é o versor na direção de \vec{E}_0 e \hat{r} é o versor radial. A segunda parcela é exatamente o campo de um dipolo induzido alinhado com \vec{E}_0.

Passo 6

Observações físicas rápidas (motivação e limites):
  • Se \epsilon_{1}=\epsilon_{2} a esfera não altera o campo: \vec{E}_{\text{in}}=\vec{E}_0 e o termo do dipolo some.
  • Se \epsilon_{1}\to\infty (esfera condutora ideal), \vec{E}_{\text{in}}\to 0 como esperado.
  • A solução mostra que o interior do dielétrico tem campo uniforme (mesma direção do externo) mas reduzido por um fator \dfrac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}.

Resposta

\displaystyle \vec{E}_{\text{in}}=\dfrac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\,\vec{E}_0
\displaystyle \vec{E}_{\text{out}}(\vec{r})=\vec{E}_0 +\;E_0\;\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}}\;a^{3}\; \frac{3(\hat{r}\cdot\hat{z})\hat{r}-\hat{z}}{r^{3}}\quad (r>a)

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