Uma esfera dielétrica de raio
e constante dielétrica
é colocada em um líquido dielétrico de extensão infinita e constante dielétrica
. Um campo elétrico uniforme
estava originalmente presente no líquido. Determine o campo elétrico resultante dentro e fora da esfera. (Dica: use a solução da equação de Laplace para encontrar o potencial dentro e fora da esfera.)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
- Uma esfera de raio
com constante dielétrica está imersa num líquido (meio infinito) com constante dielétrica . - No meio, antes de colocar a esfera, havia um campo elétrico uniforme
. (Escolheremos sem perda de generalidade.) - Não há cargas livres na superfície da esfera (situação usual de contato dielétrico sem cargas livres).
O enunciado pede: - Determinar o campo elétrico resultante dentro da esfera (para
). - Determinar o campo elétrico resultante fora da esfera (para
), em função de , , , e das coordenadas.
Passo 2
Escolha do potencial e formas gerais (por que usar Laplace e quais funções escolher):
- Em regime estático sem cargas livres no volume, o potencial eletrostático satisfaz a equação de Laplace:
- Pelo enunciado há simetria de revolução em torno da direção do campo uniforme; portanto é conveniente usar coordenadas esféricas
com o eixo alinhado a . A solução será independente de e depende apenas de e . - A solução geral regular em
e simétrica para termos de baixa ordem usa a expansão em harmônicos esféricos. Como o campo externo é dipolar (campo uniforme corresponde ao termo em potencial), só aparecem termos com . - Assim tomamos as formas mais simples compatíveis com comportamento no infinito e regularidade na origem:
onde
e
são constantes a determinar. Observações didáticas:
- O termo
garante que, quando , o potencial tende ao correspondente ao campo uniforme . - O termo
no interior é regular em ; termos seriam singulares no interior e, portanto, não são admitidos para . - O termo
no exterior é o potencial de um dipolo induzido pela esfera polarizável.
Passo 3
Condições de contorno no limite
: continuidade do potencial
- A primeira condição de contorno física é a continuidade do potencial elétrico na superfície:
Substituindo as formas escolhidas:
Cancelando
(válido para todo
) e isolando
:
Passo 4
Segunda condição de contorno: continuidade da componente normal de
- A componente normal de
é contínua na ausência de carga de superfície livre:
- Calculamos as componentes radiais de
.
Para o interior:
Para o exterior:
Avalie em
e use
:
- Agora imponha
:
Cancela
e resolva para
:
- Usando
obtemos
Passo 5
Encontrar os campos elétricos explícitos (usar
e escrever em forma vetorial)
-
Campo dentro (
): - Substituindo
em :
- Então o campo é uniforme (independente de
):
- Em componentes esféricas nota-se que isto equivale a
, , ou simplesmente um campo uniforme paralelo a .
- Substituindo
-
Campo fora (
): - Potencial externo com
:
- Derivando para obter
e organizando, obtemos (forma em coordenadas esféricas):
- Potencial externo com
- Em forma vetorial mais compacta (soma do campo uniforme com o campo de um dipolo induzido):
- Aqui
é o versor na direção de e é o versor radial. A segunda parcela é exatamente o campo de um dipolo induzido alinhado com .
Passo 6
Observações físicas rápidas (motivação e limites):
- Se
a esfera não altera o campo: e o termo do dipolo some. - Se
(esfera condutora ideal), como esperado. - A solução mostra que o interior do dielétrico tem campo uniforme (mesma direção do externo) mas reduzido por um fator
.