Numa esfera dielétrica com densidade volumétrica de cargas rho constante e raio b existe um buraco concêntrico e oco, com raio a menor que b. Determine o módulo do campo elétrico da esfera para: (a) todos os pontos externos (r >= b). (b) todos os pontos da parte maciça ( a <= r <= b ). © todos os pontos situados no interior do buraco (r <= a).

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar o que o enunciado pede e o que já sabemos:
– Enunciado resumido: temos uma esfera com raio b, densidade de carga volumétrica constante ρ, mas com um “buraco” (cavidade) esférica concêntrica de raio a (< b).
– Conteúdo da matéria: eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss em situações com simetria esférica.
– O que precisamos saber:
  1. A Lei de Gauss: oint S Ecdot d A=Qrm intvarepsilon0
  2. Como calcular carga interna para um dado raio usando e volume esférico.
  3. Volume de uma esfera de raio :
A partir do próximo passo, vamos aplicar tudo isso para cada região: interior da cavidade ( ), casca carregada ( ) e fora da esfera ( ).

Passo 2

Região 1: oint E,dA = E(r),4pi r^2 = 0varepsilon0 =0 (dentro do buraco).
– Como não há carga dentro da cavidade (ρ só vale para E(r)=0, r<= a), a carga interna .
– Pela Lei de Gauss, para uma superfície esférica de raio :
Logo,

Passo 3

Região 2: Vrm shell(ato r) = 43pil(r^3 - a^3r) (dentro da parte maciça).
– Aqui a carga interna é a carga da casquinha que vai de Qrm int(r)=rho,Vrm shell = rho,43pil(r^3-a^3r) até E(r),4pi r^2 = rho,43pi,(r^3-a^3)varepsilon0.
– Volume dessa casquinha:
E(r) = rho3varepsilon0,r^3 - a^3r^2, a<= r<= b
– Portanto a carga interna:
– Pela Lei de Gauss numa esfera de raio :
– Isolando :

Passo 4

Região 3: Qrm tot = rho,43pi,(b^3 - a^3) (fora de tudo).
– Agora a carga total interna é a carga de toda a casca de raio entre E(r),4pi r^2 = rho,43pi,(b^3-a^3)varepsilon0 e E(r)=rho3varepsilon0,b^3-a^3r^2, r>= b:
– Pela Lei de Gauss para superfície de raio :
– Logo,

Resposta

Portanto, o módulo do campo elétrico é:
E(r)= 0, & r<= a,[6pt] dfracrho3varepsilon0,dfracr^3 - a^3r^2, & a<= r<= b,[8pt] dfracrho3varepsilon0,dfracb^3 - a^3r^2, & r>= b

Exercícios relacionados