Numa esfera dielétrica com densidade volumétrica de cargas
constante e raio
existe um buraco concêntrico e oco, com raio a menor que
. Determine o módulo do campo elétrico da esfera para: (a) todos os pontos externos
. (b) todos os pontos da parte maciça (
). © todos os pontos situados no interior do buraco
.
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar o que o enunciado pede e o que já sabemos:
– Enunciado resumido: temos uma esfera com raio b, densidade de carga volumétrica constante ρ, mas com um “buraco” (cavidade) esférica concêntrica de raio a (< b).
– Conteúdo da matéria: eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss em situações com simetria esférica.
– O que precisamos saber:
– Enunciado resumido: temos uma esfera com raio b, densidade de carga volumétrica constante ρ, mas com um “buraco” (cavidade) esférica concêntrica de raio a (< b).
– Conteúdo da matéria: eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss em situações com simetria esférica.
– O que precisamos saber:
- A Lei de Gauss:
- Como calcular carga interna
para um dado raio usando e volume esférico. - Volume de uma esfera de raio
:
A partir do próximo passo, vamos aplicar tudo isso para cada região: interior da cavidade (
), casca carregada (
) e fora da esfera (
).
Passo 2
Região 1:
(dentro do buraco).
– Como não há carga dentro da cavidade (ρ só vale para ), a carga interna
.
– Pela Lei de Gauss, para uma superfície esférica de raio :
– Como não há carga dentro da cavidade (ρ só vale para
– Pela Lei de Gauss, para uma superfície esférica de raio
Logo,
Passo 3
Região 2:
(dentro da parte maciça).
– Aqui a carga interna é a carga da casquinha que vai de até
.
– Volume dessa casquinha:
– Aqui a carga interna é a carga da casquinha que vai de
– Volume dessa casquinha:
– Portanto a carga interna:
– Pela Lei de Gauss numa esfera de raio
:
– Isolando
:
Passo 4
Região 3:
(fora de tudo).
– Agora a carga total interna é a carga de toda a casca de raio entre e
:
– Agora a carga total interna é a carga de toda a casca de raio entre
– Pela Lei de Gauss para superfície de raio
:
– Logo,
Resposta
Portanto, o módulo do campo elétrico é: