Uma esfera dielétrica possui uma carga total Q. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas com densidade volumétrica variável dada por: \rho=B r, onde B é uma constante com dimensão de [carga/L4] e r é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine: (a) a carga total Q em função de B e do raio R da esfera, (b) o potencial para os pontos r>R, (c) o potencial para os pontos do interior da esfera ( r<R ).

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Esfera de raio \,R\,.
    • Densidade volumétrica de carga variável \displaystyle \rho(r)=B\,r, onde B é constante (dimensão de carga por comprimento à quarta) e r é a distância ao centro.
    • Não foi dada outra fonte de campo fora da esfera, então só existe a carga distribuída dentro da esfera.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular a carga total \,Q\, da esfera em função de \,B e \,R.
    • (b) Determinar o potencial elétrico \,V(r)\, para os pontos fora da esfera ( r>R), tomando a referência usual V(\infty)=0.
    • (c) Determinar o potencial elétrico \,V(r)\, para pontos no interior da esfera ( r<R).

Passo 2

Calcular a carga total \,Q integrando a densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera.
  • A definição de carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Q=\int_{\text{esfera}}\rho(\mathbf{r})\,dV.
  • Pelo enunciado, \rho(r)=B\,r. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume radial é \,dV=4\pi r^{2}\,dr quando usamos a simetria esférica (a integral angular dá 4\pi). Então a integral radial vai de 0 a R:
Q=\int_{0}^{R} \bigl(B\,r\bigr)\,4\pi r^{2}\,dr.
  • Desenvolvendo a integral:
Q=4\pi B\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
  • Portanto
Q=4\pi B\cdot\frac{R^{4}}{4}=\pi B R^{4}.
(Comentário rápido: isso significa que, para essa distribuição \rho\propto r, a carga total cresce como R^{4}.)

Passo 3

Determinar o potencial fora da esfera ( r>R). Usamos simetria esférica e o teorema de Gauss.
  • Por simetria esférica, para r>R o campo elétrico externo é o mesmo que seria produzido por uma carga pontual Q concentrada no centro. Isso é consequência do teorema de Gauss. A lei integral de Gauss é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Para uma superfície esférica de raio r>R a esquerda vira E(r)\,4\pi r^{2}, com Q_{\text{int}}=Q=\pi B R^{4}. Assim
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{\pi B R^{4}}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\pi B R^{4}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}=\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  • Tomando referência V(\infty)=0, o potencial numa distância r>R é
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{\infty}^{r} E(s)\,ds.
  • Substituindo E(s)=\dfrac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,s^{2}}:
V(r)=-\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}}\int_{\infty}^{r}\frac{1}{s^{2}}\,ds.
\int_{\infty}^{r}\frac{1}{s^{2}}\,ds=\left[-\frac{1}{s}\right]_{\infty}^{r}=-\frac{1}{r},
portanto
V(r)=-\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}}\left(-\frac{1}{r}\right)=\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r}\qquad (r>R).
  • Observação de checagem: podemos também escrever V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r} usando Q=\pi B R^{4}; isso dá o mesmo resultado porque \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\pi B R^{4}/r=\dfrac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0} r}.

Passo 4

Determinar o campo e o potencial no interior ( r<R). Primeiro encontramos a carga interna até raio r e daí o campo por Gauss.
  • Enclosed charge até um raio genérico r<R (usar variável de integração r'):
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} \rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi B\int_{0}^{r} r'^{3}\,dr' =4\pi B\cdot\frac{r^{4}}{4}=\pi B r^{4}.
  • Aplicando Gauss em uma superfície esférica de raio r<R:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{\pi B r^{4}}{\varepsilon_{0}}.
Logo
E(r)=\frac{\pi B r^{4}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}=\frac{B r^{2}}{4\varepsilon_{0}}\qquad (r<R).
  • Note que E(r) cresce com r^{2} dentro da esfera (isso é razoável: a densidade aumenta com r, então mais carga próxima da casca externa concentra campo lá).

Passo 5

Calcular o potencial interior \,V(r) para r<R usando V(\infty)=0 e a relação de potencial com o campo. Como o campo tem duas expressões (interna e externa), fazemos a integral de \infty até r e quebramos em dois trechos: \infty\to R (externo) e R\to r (interno).
  • Escrevemos
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(s)\,ds =-\int_{\infty}^{R} E_{\text{out}}(s)\,ds-\int_{R}^{r} E_{\text{in}}(s)\,ds.
  • Calcule o primeiro termo (contribuição externa):
-\int_{\infty}^{R} E_{\text{out}}(s)\,ds =-\int_{\infty}^{R}\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}s^{2}}\,ds =\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R}\right) =\frac{B R^{3}}{4\varepsilon_{0}}.
(Avaliação da integral: \int_{\infty}^{R}s^{-2}ds=-1/R, o sinal resulta na expressão positiva acima.)
  • Calcule o segundo termo (contribuição interna):
-\int_{R}^{r} E_{\text{in}}(s)\,ds =-\int_{R}^{r}\frac{B s^{2}}{4\varepsilon_{0}}\,ds =-\frac{B}{4\varepsilon_{0}}\left.\frac{s^{3}}{3}\right|_{R}^{r} =-\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(r^{3}-R^{3}\bigr) =\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr).
  • Somando as duas contribuições:
V(r)=\frac{B R^{3}}{4\varepsilon_{0}}+\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr).
  • Colocando em forma simplificada (colocando um denominador comum 12\varepsilon_{0}):
V(r)=\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(3R^{3}+R^{3}-r^{3}\bigr) =\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr)\qquad (r<R).
  • Verificação rápida de continuidade em r=R:
V(R)=\frac{B}{12\varepsilon_{0}}(4R^{3}-R^{3})=\frac{B}{12\varepsilon_{0}}(3R^{3})=\frac{B R^{3}}{4\varepsilon_{0}},
que é igual ao valor de V obtido para r=R pela expressão externa \dfrac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}R}=\dfrac{B R^{3}}{4\varepsilon_{0}}. Boa — o potencial é contínuo na fronteira como deve ser.

Resposta

(a) Q=\pi B R^{4}
(b) Para r>R: \displaystyle V(r)=\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r}
(c) Para r<R: \displaystyle V(r)=\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr)

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