Uma esfera dielétrica possui uma carga total Q. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas com densidade volumétrica variável dada por: \rho=B r, onde B é uma constante com dimensão de [carga/L4] e r é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine: (a) a carga total Q em função de B e do raio R da esfera, (b) o potencial para os pontos r>R, (c) o potencial para os pontos do interior da esfera ( r<R ).
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
Esfera de raio \,R\,.
Densidade volumétrica de carga variável \displaystyle \rho(r)=B\,r, onde B é constante (dimensão de carga por comprimento à quarta) e r é a distância ao centro.
Não foi dada outra fonte de campo fora da esfera, então só existe a carga distribuída dentro da esfera.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a carga total \,Q\, da esfera em função de \,B e \,R.
(b) Determinar o potencial elétrico \,V(r)\, para os pontos fora da esfera (r>R), tomando a referência usual V(\infty)=0.
(c) Determinar o potencial elétrico \,V(r)\, para pontos no interior da esfera (r<R).
Passo 2
Calcular a carga total \,Q integrando a densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera.
A definição de carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Q=\int_{\text{esfera}}\rho(\mathbf{r})\,dV.
Pelo enunciado, \rho(r)=B\,r. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume radial é \,dV=4\pi r^{2}\,dr quando usamos a simetria esférica (a integral angular dá 4\pi). Então a integral radial vai de 0 a R:
(Comentário rápido: isso significa que, para essa distribuição \rho\propto r, a carga total cresce como R^{4}.)
Passo 3
Determinar o potencial fora da esfera (r>R). Usamos simetria esférica e o teorema de Gauss.
Por simetria esférica, para r>R o campo elétrico externo é o mesmo que seria produzido por uma carga pontual Q concentrada no centro. Isso é consequência do teorema de Gauss. A lei integral de Gauss é
Para uma superfície esférica de raio r>R a esquerda vira E(r)\,4\pi r^{2}, com Q_{\text{int}}=Q=\pi B R^{4}. Assim
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{\pi B R^{4}}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\pi B R^{4}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}=\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
Tomando referência V(\infty)=0, o potencial numa distância r>R é
Observação de checagem: podemos também escrever V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r} usando Q=\pi B R^{4}; isso dá o mesmo resultado porque \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\pi B R^{4}/r=\dfrac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0} r}.
Passo 4
Determinar o campo e o potencial no interior (r<R). Primeiro encontramos a carga interna até raio r e daí o campo por Gauss.
Enclosed charge até um raio genérico r<R (usar variável de integração r'):
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} \rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi B\int_{0}^{r} r'^{3}\,dr' =4\pi B\cdot\frac{r^{4}}{4}=\pi B r^{4}.
Aplicando Gauss em uma superfície esférica de raio r<R:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{\pi B r^{4}}{\varepsilon_{0}}.
Logo
E(r)=\frac{\pi B r^{4}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}=\frac{B r^{2}}{4\varepsilon_{0}}\qquad (r<R).
Note que E(r) cresce com r^{2} dentro da esfera (isso é razoável: a densidade aumenta com r, então mais carga próxima da casca externa concentra campo lá).
Passo 5
Calcular o potencial interior \,V(r) para r<R usando V(\infty)=0 e a relação de potencial com o campo. Como o campo tem duas expressões (interna e externa), fazemos a integral de \infty até r e quebramos em dois trechos: \infty\to R (externo) e R\to r (interno).
que é igual ao valor de V obtido para r=R pela expressão externa \dfrac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}R}=\dfrac{B R^{3}}{4\varepsilon_{0}}. Boa — o potencial é contínuo na fronteira como deve ser.
Resposta
(a) Q=\pi B R^{4}
(b) Para r>R: \displaystyle V(r)=\frac{B R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r}
(c) Para r<R: \displaystyle V(r)=\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr)