Um cilindro dielétrico de raio b e comprimento infinito possui uma densidade de cargas volumétrica \rho constante. Determine a diferença de potencial entre um ponto da superficie do cilindro e um ponto situado a uma distância d da superfície do cilindro e localizado: (a) no exterior do cilindro, (b) no interior do cilindro.
Resposta: (a) V(b)-V(b+d)=\left(\rho b^{2} / 2 \epsilon_{0}\right) \ln [(b+d) / b] .(b) V(b)-V(b-d)=\left(\rho / 4 \epsilon_{0}\right)
\left[(b-d)^{2}-b^{2}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede exatamente isto:
  • Um cilindro dielétrico infinito tem raio b e densidade volumétrica de carga constante \rho.
  • Quer-se a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro (raio r=b) e um ponto que está a uma distância d da superfície, em dois casos:
    • (a) ponto no exterior do cilindro: r=b+d;
    • (b) ponto no interior do cilindro: r=b-d.
  • As quantidades pedidas são, portanto:
    • (a) V(b)-V(b+d);
    • (b) V(b)-V(b-d).

Passo 2

Vamos obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) (módulo, radial) pelo teorema de Gauss. Ideia física rápida (sem usar jargão pesado): para um problema com simetria cilíndrica e cilindro infinito, o campo elétrico só depende da distância radial r ao eixo e é radial. Use uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L.
Cálculo do campo para r\le b (dentro do cilindro):
  • A carga total contida no cilindro gaussiano é Q_{\text{int}}=\rho \times (\text{volume})=\rho\cdot \pi r^{2}L.
  • O fluxo elétrico pela superfície lateral vale E(r)\cdot (2\pi r L).
  • Gauss dá E(r)\cdot 2\pi r L = Q_{\text{int}}/\epsilon_{0}. Logo
E(r)=\frac{\rho\,r}{2\epsilon_{0}}\qquad (r\le b).
Aqui E(r) é o módulo do campo elétrico na direção radial para dentro do cilindro.
Cálculo do campo para r\ge b (fora do cilindro):
  • Toda a carga do cilindro de raio b está contida no interior da superfície gaussiana de raio r. A carga por comprimento L é \rho\pi b^{2}L.
  • Aplicando Gauss,
E(r)\cdot 2\pi r L = \frac{\rho\pi b^{2}L}{\epsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}\,r}\qquad (r\ge b).

Passo 3

Relação entre potencial e campo: para duas distâncias radiais r_{1} e r_{2},
V(r_{1})-V(r_{2}) = -\int_{r_{1}}^{r_{2}} E(r)\,dr.
Significado: a diferença de potencial é menos a integral do campo ao longo da linha radial que vai de r_{1} a r_{2}. O sinal menos aparece porque \mathbf{E}=-\nabla V.
Usaremos essa fórmula com r_{1}=b e r_{2}=b\pm d conforme os casos.

Passo 4

Caso (a): ponto exterior r=b+d.
Usamos E(r)=\dfrac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}r} para r\ge b. Então
V(b)-V(b+d) = -\int_{b}^{\,b+d} \frac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}r}\,dr.
Calcule a integral:
-\frac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}}\int_{b}^{\,b+d}\frac{1}{r}\,dr = -\frac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}}\left[\ln r\right]_{b}^{\,b+d} = -\frac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{b+d}{b}\right).
Portanto, a diferença pedida é
V(b)-V(b+d) = -\frac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{b+d}{b}\right).
Comentário físico curto: para \rho>0 o potencial decresce ao afastar-se do eixo, por isso o resultado é negativo (o módulo cresce com d no logaritmo).

Passo 5

Caso (b): ponto interior r=b-d (assumindo 0\le d\le b).
Agora usamos E(r)=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_{0}} para r\le b. Aplicando a fórmula:
V(b)-V(b-d) = -\int_{b}^{\,b-d} \frac{\rho r}{2\epsilon_{0}}\,dr.
Note que a integral tem limite superior menor que o inferior; é mais claro trocar os limites e tirar um sinal:
V(b)-V(b-d) = +\int_{b-d}^{\,b} \frac{\rho r}{2\epsilon_{0}}\,dr.
Calcule:
\int \frac{\rho r}{2\epsilon_{0}}\,dr = \frac{\rho}{2\epsilon_{0}}\cdot\frac{r^{2}}{2} = \frac{\rho r^{2}}{4\epsilon_{0}}.
Assim
V(b)-V(b-d) = \frac{\rho}{4\epsilon_{0}}\left[b^{2}-(b-d)^{2}\right].
Se desejar, expandindo:
V(b)-V(b-d) = \frac{\rho}{4\epsilon_{0}}\left(2bd-d^{2}\right),
que é positivo para 0<d<2b (no caso usual d<b o termo 2bd-d^{2} é positivo).

Passo 6

Pequena verificação de consistência:
  • No limite d\to 0 ambas as diferenças vão a zero, conforme esperado.
  • Para o caso externo, o resultado tem comportamento logarítmico em d (característico de cilindros infinitos).
  • As expressões foram obtidas assumindo simetria cilíndrica e uso de Gauss; o potencial absoluto não foi fixado (para cilindro infinito não se pode definir facilmente V(\infty)=0), mas diferenças de potencial entre pontos com afastamento radial finito são bem definidas.

Resposta

(a) V(b)-V(b+d) = -\dfrac{\rho b^{2}}{2\epsilon_{0}}\displaystyle\ln\!\left(\dfrac{b+d}{b}\right)
(b) V(b)-V(b-d) = \dfrac{\rho}{4\epsilon_{0}}\left[b^{2}-(b-d)^{2}\right]

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