Um cilindro dielétrico de raio
e comprimento infinito possui uma densidade de cargas volumétrica
constante. Determine a diferença de potencial entre um ponto da superficie do cilindro e um ponto situado a uma distância
da superfície do cilindro e localizado: (a) no exterior do cilindro, (b) no interior do cilindro.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede exatamente isto:
- Um cilindro dielétrico infinito tem raio
e densidade volumétrica de carga constante . - Quer-se a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro (raio
) e um ponto que está a uma distância da superfície, em dois casos: - (a) ponto no exterior do cilindro:
; - (b) ponto no interior do cilindro:
.
- (a) ponto no exterior do cilindro:
- As quantidades pedidas são, portanto:
- (a)
; - (b)
.
- (a)
Passo 2
Vamos obter o campo elétrico
(módulo, radial) pelo teorema de Gauss. Ideia física rápida (sem usar jargão pesado): para um problema com simetria cilíndrica e cilindro infinito, o campo elétrico só depende da distância radial
ao eixo e é radial. Use uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
.
Cálculo do campo para
(dentro do cilindro):
- A carga total contida no cilindro gaussiano é
. - O fluxo elétrico pela superfície lateral vale
. - Gauss dá
. Logo
Aqui
é o módulo do campo elétrico na direção radial para dentro do cilindro.
Cálculo do campo para
(fora do cilindro):
- Toda a carga do cilindro de raio
está contida no interior da superfície gaussiana de raio . A carga por comprimento é . - Aplicando Gauss,
Passo 3
Relação entre potencial e campo: para duas distâncias radiais
e
,
Significado: a diferença de potencial é menos a integral do campo ao longo da linha radial que vai de
a
. O sinal menos aparece porque
.
Usaremos essa fórmula com
e
conforme os casos.
Passo 4
Caso (a): ponto exterior
.
Usamos
para
. Então
Calcule a integral:
Portanto, a diferença pedida é
Comentário físico curto: para
o potencial decresce ao afastar-se do eixo, por isso o resultado é negativo (o módulo cresce com
no logaritmo).
Passo 5
Caso (b): ponto interior
(assumindo
).
Agora usamos
para
. Aplicando a fórmula:
Note que a integral tem limite superior menor que o inferior; é mais claro trocar os limites e tirar um sinal:
Calcule:
Assim
Se desejar, expandindo:
que é positivo para
(no caso usual
o termo
é positivo).
Passo 6
Pequena verificação de consistência:
- No limite
ambas as diferenças vão a zero, conforme esperado. - Para o caso externo, o resultado tem comportamento logarítmico em
(característico de cilindros infinitos). - As expressões foram obtidas assumindo simetria cilíndrica e uso de Gauss; o potencial absoluto não foi fixado (para cilindro infinito não se pode definir facilmente
), mas diferenças de potencial entre pontos com afastamento radial finito são bem definidas.
Resposta
(a)
(b)