Uma esfera dielétrica de raio
tem carga elétrica
uniformemente distribuída ao longo de todo o seu volume. Se um elétron de carga - e e massa
é deixado em repouso a uma distância
do centro da esfera
, mostre que sua velocidade quando ele atinge a esfera pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado dá: uma esfera dielétrica de raio
contém uma carga total
distribuída uniformemente por todo o volume. Um elétron de carga
e massa
é deixado em repouso a uma distância
do centro da esfera, com
. A pergunta é: mostrar que a velocidade do elétron quando ele atinge a superfície da esfera pode ser escrita como
Observação importante: na expressão acima aparece
. Aqui o raio da esfera é dado no enunciado por
, então
representa esse mesmo raio; ou seja,
. A resolução a seguir usa
como o raio, e no final veremos que a expressão fica idêntica à pedida.
Passo 2
Entender o campo elétrico fora da esfera: por simetria esférica, para pontos fora da esfera (
) o campo elétrico produzido pela distribuição uniforme de carga é o mesmo que o de uma carga pontual
situada no centro. Uma maneira de ver isso é aplicar a Lei de Gauss; o resultado é
Aqui
é o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro. Breve explicação da Lei de Gauss: para simetria esférica, a integral de fluxo sobre uma superfície esférica de raio
dá
, e
para
.
Passo 3
Encontrar o potencial elétrico fora da esfera relativo ao infinito: o potencial
pode ser obtido integrando o campo,
Fazendo a integral (lembrando que
) obtemos
Isto é o potencial de uma carga pontual
a uma distância
.
Passo 4
Calcular a energia potencial eletrostática do elétron em duas posições: na posição inicial
e na posição final sobre a superfície
. Para uma carga de prova
a energia potencial é
. No nosso caso
(carga do elétron), então
e
Passo 5
Aplicar conservação da energia mecânica: a energia mecânica total
é conservada (não há forças dissipativas). O elétron parte do repouso em
, ou seja
. Ao atingir a superfície terá energia cinética
. Assim
Substituindo
e isolando
,
Passo 6
Substituir os valores de
e
e simplificar passo a passo. Temos
Colocando em uma única fração:
logo
Passo 7
Relacionar energia cinética com velocidade:
. Igualando e resolvendo para
,
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando o fator numérico
, obtemos
Tomando a raiz quadrada,
Passo 8
Reconciliação com a expressão pedida: como observado no Passo 1,
na expressão pedida é o raio da esfera, isto é
. Substituindo
na expressão obtida, temos exatamente
como solicitado.