Uma esfera dielétrica de raio a tem carga elétrica q uniformemente distribuída ao longo de todo o seu volume. Se um elétron de carga - e e massa m é deixado em repouso a uma distância r do centro da esfera (r>a), mostre que sua velocidade quando ele atinge a esfera pode ser escrita como:
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)}

Passo 1

O enunciado dá: uma esfera dielétrica de raio a contém uma carga total q distribuída uniformemente por todo o volume. Um elétron de carga -e e massa m é deixado em repouso a uma distância r do centro da esfera, com r>a. A pergunta é: mostrar que a velocidade do elétron quando ele atinge a superfície da esfera pode ser escrita como
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)}.
Observação importante: na expressão acima aparece R. Aqui o raio da esfera é dado no enunciado por a, então R representa esse mesmo raio; ou seja, R=a. A resolução a seguir usa a como o raio, e no final veremos que a expressão fica idêntica à pedida.

Passo 2

Entender o campo elétrico fora da esfera: por simetria esférica, para pontos fora da esfera ( r'>a) o campo elétrico produzido pela distribuição uniforme de carga é o mesmo que o de uma carga pontual q situada no centro. Uma maneira de ver isso é aplicar a Lei de Gauss; o resultado é
E(r')=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}{r'}^{2}}\quad\text{para }r'>a.
Aqui E(r') é o módulo do campo elétrico a uma distância r' do centro. Breve explicação da Lei de Gauss: para simetria esférica, a integral de fluxo sobre uma superfície esférica de raio r' E(r')\cdot 4\pi {r'}^{2}=q_{\text{enc}}/\varepsilon_0, e q_{\text{enc}}=q para r'>a.

Passo 3

Encontrar o potencial elétrico fora da esfera relativo ao infinito: o potencial V(r') pode ser obtido integrando o campo,
V(r')=-\int_{\infty}^{r'} \! E(s)\,ds = -\int_{\infty}^{r'} \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}s^{2}}\,ds.
Fazendo a integral (lembrando que \int s^{-2}ds = -s^{-1}) obtemos
V(r')=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0} r'}\quad\text{para }r'>a.
Isto é o potencial de uma carga pontual q a uma distância r'.

Passo 4

Calcular a energia potencial eletrostática do elétron em duas posições: na posição inicial r e na posição final sobre a superfície a. Para uma carga de prova Q a energia potencial é U=Q\,V. No nosso caso Q=-e (carga do elétron), então
U(r)=(-e)\,V(r)= -\frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0} r}
e
U(a)=(-e)\,V(a)= -\frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0} a}.

Passo 5

Aplicar conservação da energia mecânica: a energia mecânica total K+U é conservada (não há forças dissipativas). O elétron parte do repouso em r, ou seja K_{\text{inicial}}=0. Ao atingir a superfície terá energia cinética K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}. Assim
K_{\text{inicial}}+U(r)=K_{\text{final}}+U(a).
Substituindo K_{\text{inicial}}=0 e isolando K_{\text{final}},
K_{\text{final}}=U(r)-U(a).

Passo 6

Substituir os valores de U(r) e U(a) e simplificar passo a passo. Temos
K_{\text{final}} = -\frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0} r} -\left(-\frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0} a}\right) = \frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0}}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right).
Colocando em uma única fração:
\frac{1}{a}-\frac{1}{r}=\frac{r-a}{a r},
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K_{\text{final}}=\frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{r-a}{a r}.

Passo 7

Relacionar energia cinética com velocidade: K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}. Igualando e resolvendo para v,
\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{e q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{r-a}{a r}.
Multiplicando ambos os lados por 2/m e simplificando o fator numérico 2/(4\pi)=1/(2\pi), obtemos
v^{2}=\frac{e q}{2\pi\varepsilon_{0} m}\cdot\frac{r-a}{a r}.
Tomando a raiz quadrada,
v=\sqrt{\frac{e q}{2\pi\varepsilon_{0} m a r}\,(r-a)}.

Passo 8

Reconciliação com a expressão pedida: como observado no Passo 1, R na expressão pedida é o raio da esfera, isto é R=a. Substituindo a=R na expressão obtida, temos exatamente
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)},
como solicitado.

Resposta

v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)}

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