a) Uma esfera dielétrica de raio
tem carga elétrica
uniformemente distribuída ao longo de todo o seu volume. Se um elétron de carga - e e massa
é deixado em repouso a uma distância
do centro da esfera
, mostre que sua velocidade quando ele atinge a esfera pode ser escrita como:
Se a esfera dielétrica for substituída por uma fina casca esférica condutora de raio
com a mesma carga elétrica
e com um pequeno orifício por onde o elétron pode entrar, que velocidade o elétron teria ao passar pelo seu centro?
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:
- Uma esfera dielétrica (sólida) tem raio
e carga total uniformemente distribuída em todo seu volume, igual a . - Um elétron de carga
e massa é deixado em repouso a uma distância do centro da esfera, com . - O enunciado pede para mostrar que a velocidade do elétron quando ele atinge a superfície da esfera (isto é, em
) pode ser escrita como
Observação: o enunciado original usou a letra maiúscula
dentro da fórmula; como a esfera tem raio
, vou interpretar e usar
(ou seja, trocar
por
) para deixar tudo consistente com os dados.\n
- Segunda pergunta: se a esfera dielétrica for substituída por uma casca esférica condutora fina de raio
com a mesma carga e com um pequeno orifício por onde o elétron pode entrar, qual será a velocidade do elétron ao passar pelo centro da casca?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado de forma didática):
- Conservação da energia mecânica elétrica: como não há forças dissipativas (atrito), a variação da energia potencial elétrica do elétron transforma-se em energia cinética. Para uma carga
em um ponto onde o potencial elétrico é , a energia potencial é
- No nosso caso a partícula é o elétron com carga
. Então a energia potencial elétrica em um ponto com potencial é . - Se o elétron parte em repouso de
e chega a outro ponto com potencial , a energia cinética adquirida é
- Como energia cinética é
, obtemos
Vou aplicar isso com
e
. Explico agora como obter
e
.
Passo 3
Potencial elétrico fora de uma esfera com carga total
(distribuída de forma qualquer, desde que a distribuição esteja inteiramente contida na esfera) — resultado importante e como obter de modo simples:
- Para pontos externos a uma esfera carregada (isto é, para
), o campo elétrico externo é igual ao de uma carga pontual colocada no centro. Isso vem da Lei de Gauss; o resultado é
- O potencial elétrico relativo a infinito (tomando
) é obtido integrando o campo:
- Definimos
para simplificar a escrita quando conveniente.
Portanto, para um ponto externo
temos
. Em particular a potencial na superfície é
.
Passo 4
Aplicando a conservação da energia ao caso da esfera dielétrica sólida (eletrón vai de
até a superfície
):
- Energia potencial inicial:
- Energia potencial final (na superfície
):
- Variação de energia potencial e energia cinética adquirida:
Substituindo os valores de
:
Passo 5
Algebra para isolar
e obter a forma pedida:
- Primeiro escrevo
, então
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Simplificando o fator numérico
:
- Colocando em uma única fração a diferença
:
- Tomando raiz quadrada:
- Reescrevendo para mostrar a forma dada no enunciado e lembrando da observação no Passo 1 (
):
que é exatamente a forma pedida com
:
Passo 6
Agora o caso da casca esférica condutora fina com um pequeno orifício (mesma carga
, raio
) — explicação didática do que muda:
- Para uma casca condutora estacionária carregada, toda a carga reside na superfície (camada externa) e o campo elétrico dentro da casca é nulo:
para . - Isso implica que o potencial dentro da casca é constante e igual ao potencial da superfície:
- Se o elétron parte de
(com ) e entra pelo orifício, ao atravessar a superfície ele já terá adquirido a mesma energia cinética que teria ao atingir a superfície no caso anterior, porque a diferença de potencial entre o ponto inicial e qualquer ponto dentro da casca (incluindo o centro) é exatamente . - Dentro da casca não há campo para alterar mais sua velocidade (campo nulo), então a velocidade no centro da casca será a mesma que a velocidade imediatamente após atravessar a superfície interior — ou seja, a mesma velocidade que calculamos no caso da esfera sólida ao atingir
.
Passo 7
Concluindo o resultado para o caso condutor:
- Assim, a velocidade do elétron ao passar pelo centro da casca condutora é exatamente a mesma velocidade obtida no Passo 5: