a) Uma esfera dielétrica de raio a tem carga elétrica q uniformemente distribuída ao longo de todo o seu volume. Se um elétron de carga - e e massa m é deixado em repouso a uma distância r do centro da esfera (r>a), mostre que sua velocidade quando ele atinge a esfera pode ser escrita como:
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)}
Se a esfera dielétrica for substituída por uma fina casca esférica condutora de raio a com a mesma carga elétrica q e com um pequeno orifício por onde o elétron pode entrar, que velocidade o elétron teria ao passar pelo seu centro?

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • Uma esfera dielétrica (sólida) tem raio \;a\; e carga total uniformemente distribuída em todo seu volume, igual a \;q\;.
  • Um elétron de carga \;-e\; e massa \;m\; é deixado em repouso a uma distância \;r\; do centro da esfera, com \;r>a\;.
  • O enunciado pede para mostrar que a velocidade do elétron quando ele atinge a superfície da esfera (isto é, em r=a) pode ser escrita como
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)}.
Observação: o enunciado original usou a letra maiúscula \;R\; dentro da fórmula; como a esfera tem raio \;a\;, vou interpretar e usar \;R=a\; (ou seja, trocar \;R\; por \;a\;) para deixar tudo consistente com os dados.\n
  • Segunda pergunta: se a esfera dielétrica for substituída por uma casca esférica condutora fina de raio \;a\; com a mesma carga \;q\; e com um pequeno orifício por onde o elétron pode entrar, qual será a velocidade do elétron ao passar pelo centro da casca?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Conservação da energia mecânica elétrica: como não há forças dissipativas (atrito), a variação da energia potencial elétrica do elétron transforma-se em energia cinética. Para uma carga q_{\text{partícula}}í em um ponto onde o potencial elétrico é V, a energia potencial é
U = q_{\text{partícula}} \, V.í
  • No nosso caso a partícula é o elétron com carga \;-e\;. Então a energia potencial elétrica em um ponto com potencial V é \;U = (-e) V\;.
  • Se o elétron parte em repouso de r e chega a outro ponto com potencial V_f, a energia cinética adquirida é
\Delta K = -\Delta U = -\big(U_f - U_i\big) = -\big((-e)V_f - (-e)V_i\big) = e\,(V_f - V_i).
  • Como energia cinética é \;K=\tfrac{1}{2} m v^2\;, obtemos
\frac{1}{2} m v^2 = e\,(V_f - V_i).
Vou aplicar isso com V_i = V(r) e V_f = V(\text{ponto final}). Explico agora como obter V(r) e V_f.

Passo 3

Potencial elétrico fora de uma esfera com carga total q (distribuída de forma qualquer, desde que a distribuição esteja inteiramente contida na esfera) — resultado importante e como obter de modo simples:
  • Para pontos externos a uma esfera carregada (isto é, para \;r>a\;), o campo elétrico externo é igual ao de uma carga pontual q colocada no centro. Isso vem da Lei de Gauss; o resultado é
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\quad\text{para }r>a.
  • O potencial elétrico relativo a infinito (tomando V(\infty)=0) é obtido integrando o campo:
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}.
  • Definimos k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} para simplificar a escrita quando conveniente.
Portanto, para um ponto externo r temos \;V(r)=k\frac{q}{r}\;. Em particular a potencial na superfície é \;V(a)=k\frac{q}{a}\;.

Passo 4

Aplicando a conservação da energia ao caso da esfera dielétrica sólida (eletrón vai de r até a superfície a):
  • Energia potencial inicial:
U_i = (-e) V(r) = -e \left(k\frac{q}{r}\right).
  • Energia potencial final (na superfície r=a):
U_f = (-e) V(a) = -e \left(k\frac{q}{a}\right).
  • Variação de energia potencial e energia cinética adquirida:
\Delta K = -\Delta U = -\big(U_f - U_i\big) = e\big(V(a)-V(r)\big).
Substituindo os valores de V:
\frac{1}{2} m v^2 = e\left(k\frac{q}{a} - k\frac{q}{r}\right) = e k q\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right).

Passo 5

Algebra para isolar \;v\; e obter a forma pedida:
  • Primeiro escrevo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, então
\frac{1}{2} m v^2 = e \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} q \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right).
  • Multiplicando ambos os lados por 2/m:
v^2 = \frac{2 e q}{4\pi\varepsilon_0 m}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right).
  • Simplificando o fator numérico \;2/(4\pi)=1/(2\pi)\;:
v^2 = \frac{e q}{2\pi\varepsilon_0 m}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right).
  • Colocando em uma única fração a diferença \frac{1}{a}-\frac{1}{r}=\dfrac{r-a}{a r}:
v^2 = \frac{e q}{2\pi\varepsilon_0 m}\cdot\frac{r-a}{a r}.
  • Tomando raiz quadrada:
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m}\cdot\frac{r-a}{a r}}.
  • Reescrevendo para mostrar a forma dada no enunciado e lembrando da observação no Passo 1 ( R=a):
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r a}\,(r-a)}
que é exatamente a forma pedida com R=a:
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m r R}(r-a)}\quad\text{(com }R=a\text{).}

Passo 6

Agora o caso da casca esférica condutora fina com um pequeno orifício (mesma carga q, raio \;a\;) — explicação didática do que muda:
  • Para uma casca condutora estacionária carregada, toda a carga reside na superfície (camada externa) e o campo elétrico dentro da casca é nulo: \;E_{\text{dentro}}=0\; para r<a.
  • Isso implica que o potencial dentro da casca é constante e igual ao potencial da superfície:
V_{\text{dentro}} = V(a) = k\frac{q}{a}.
  • Se o elétron parte de r (com r>a) e entra pelo orifício, ao atravessar a superfície ele já terá adquirido a mesma energia cinética que teria ao atingir a superfície no caso anterior, porque a diferença de potencial entre o ponto inicial r e qualquer ponto dentro da casca (incluindo o centro) é exatamente V(a)-V(r).
  • Dentro da casca não há campo para alterar mais sua velocidade (campo nulo), então a velocidade no centro da casca será a mesma que a velocidade imediatamente após atravessar a superfície interior — ou seja, a mesma velocidade que calculamos no caso da esfera sólida ao atingir r=a.

Passo 7

Concluindo o resultado para o caso condutor:
  • Assim, a velocidade do elétron ao passar pelo centro da casca condutora é exatamente a mesma velocidade obtida no Passo 5:
v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m}\cdot\frac{r-a}{a r}}.

Resposta

v=\sqrt{\frac{e q}{2 \pi \varepsilon_{0} m}\cdot\frac{r-a}{a r}}
\text{(para a casca condutora, a velocidade no centro é a mesma expressão acima).}éã

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