Uma esfera foi cortada por um plano distante 5 cm do centro formando uma seção na esfera com área igual a 144 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Qual o volume, em \mathrm{cm}^{3}, dessa esfera?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Foi dada uma seção plana na esfera cuja área é \;144\pi\;\mathrm{cm}^2.
  • O plano que fez a seção está a \;5\;\mathrm{cm} do centro da esfera.
  • Pergunta: qual é o volume, em \mathrm{cm}^3, dessa esfera?

Passo 2

Primeiro precisamos extrair o raio da seção circular a partir da área dada. A fórmula da área de um círculo é
A=\pi r^2,
onde A é a área e r é o raio do círculo. Aqui A=144\pi. Substituindo e resolvendo para r:
144\pi=\pi r^2 \implies r^2=144 \implies r=12.
Portanto o raio da seção circular é \;12\;\mathrm{cm}.

Passo 3

Agora relacionamos o raio da esfera R, a distância do centro ao plano d e o raio da seção r. Imagine o plano cortando a esfera; se traçarmos o segmento do centro da esfera O até o centro da circunferência de interseção no plano (ponto C), esse segmento tem comprimento d. Traçando também um raio da esfera até um ponto da circunferência de interseção formamos um triângulo retângulo com hipotenusa R e catetos d e r. Por isso vale o teorema de Pitágoras:
R^2 = d^2 + r^2.
Aqui d=5 e r=12.

Passo 4

Substituímos os valores em \;R^2 = d^2 + r^2:
R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.
Logo R=\sqrt{169}=13. Tomamos a raiz positiva porque R é um comprimento. Assim o raio da esfera é \;13\;\mathrm{cm}.

Passo 5

A fórmula do volume de uma esfera é
V=\frac{4}{3}\pi R^3,
onde V é o volume e R é o raio da esfera. Vou explicar rápido: essa fórmula vem da integração das áreas das seções circulares ao longo do eixo (mas aqui usamos direto como fórmula conhecida).

Passo 6

Calculamos R^3 com R=13:
13^2=169,\qquad 13^3=169\cdot 13=2197.

Passo 7

Substituímos em V=\dfrac{4}{3}\pi R^3:
V=\frac{4}{3}\pi\cdot 2197=\frac{4\cdot 2197}{3}\pi=\frac{8788}{3}\pi.
Esse é o volume exato em unidades de \mathrm{cm}^3. Se quiser uma aproximação decimal, \dfrac{8788}{3}\pi\approx 9204{,}7\;\mathrm{cm}^3, mas o valor exato é mais adequado para prova.

Resposta

\displaystyle \frac{8788\pi}{3}\\ \mathrm{cm}^3

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