Uma esfera foi cortada por um plano distante 5 cm do centro formando uma seção na esfera com área igual a
. Qual o volume, em
, dessa esfera?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Foi dada uma seção plana na esfera cuja área é
. - O plano que fez a seção está a
do centro da esfera. - Pergunta: qual é o volume, em
, dessa esfera?
Passo 2
Primeiro precisamos extrair o raio da seção circular a partir da área dada. A fórmula da área de um círculo é
onde
é a área e
é o raio do círculo. Aqui
. Substituindo e resolvendo para
:
Portanto o raio da seção circular é
.
Passo 3
Agora relacionamos o raio da esfera
, a distância do centro ao plano
e o raio da seção
. Imagine o plano cortando a esfera; se traçarmos o segmento do centro da esfera
até o centro da circunferência de interseção no plano (ponto
), esse segmento tem comprimento
. Traçando também um raio da esfera até um ponto da circunferência de interseção formamos um triângulo retângulo com hipotenusa
e catetos
e
. Por isso vale o teorema de Pitágoras:
Aqui
e
.
Passo 4
Substituímos os valores em
:
Logo
. Tomamos a raiz positiva porque
é um comprimento. Assim o raio da esfera é
.
Passo 5
A fórmula do volume de uma esfera é
onde
é o volume e
é o raio da esfera. Vou explicar rápido: essa fórmula vem da integração das áreas das seções circulares ao longo do eixo (mas aqui usamos direto como fórmula conhecida).
Passo 6
Calculamos
com
:
Passo 7
Substituímos em
:
Esse é o volume exato em unidades de
. Se quiser uma aproximação decimal,
, mas o valor exato é mais adequado para prova.