Uma esfera homogênea, de massa M e raio R, inicialmente em repouso, rola sem deslizar ao longo do trilho ilustrado na figura ao lado, partindo da extremidade superior esquerda (de altura H), e abandonando o trilho no ponto A (extremidade da esfera, de altura h). Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa: c=(2 / 5) M R^2
Qual a velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em A?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera homogênea com massa $ M $ e raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um trilho. Ela começa do repouso no topo, na altura $ H $, e chega até o ponto $ A $, que está na altura $ h $. Queremos descobrir qual é a velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em $ A $.
Para resolver isso, vamos usar conservação de energia. A ideia é que a energia total no começo (quando a esfera está no topo) vai se transformar em diferentes formas de energia quando ela chega em $ A $ – principalmente energia cinética (de movimento) e energia potencial gravitacional (de altura).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas:
  1. Energia Potencial Gravitacional (Ug): No início, a esfera está na altura $ H $, então ela tem energia potencial.
  2. Energia Cinética Translacional (K H ): Quando a esfera está em movimento, ela tem energia de transllação devido à sua velocidade.
  3. Energia Cinética Rotacional (K trans): Além de se mover, a esfera também está girando, o que dá uma energia rotacional.
  4. Energia Potencial Gravitacional em $ A $ (U rot): Quando a esfera chega em $ A $, ainda tem uma energia potencial devido à altura $ h $.

Passo 3

No ponto de partida (altura $ H $):
  • A esfera está em repouso, então sua energia cinética total é zero.
  • Sua única energia é a energia potencial: H onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
No ponto $ A $ (altura $ h $):
  • A esfera tem energia potencial: Uginicial = M g H
  • Energia cinética translacional: g onde $ v $ é a velocidade do centro de massa.
  • Energia cinética rotacional: A where $ I $ is o momento de inércia e $ \omega $ é a velocidade angular.

Passo 4

Sabemos que a esfera rola sem deslizar, o que significa que a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ estão relacionadas por:
v
Isso nos ajuda a relacionar as duas energias cinéticas.

Passo 5

Vamos usar a conservação de energia, que diz que a energia total no início é igual à energia total no final:
Uginicial = UgA + Ktrans + Krot
Substituindo os valores:
M g H = M g h + 12 M v^2 + 12 I omega^2

Passo 6

Substituindo $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na equação acima:
omega
E sabemos que $ I = \frac{2}{5} M R^2 $, então:
vR

Passo 7

Simplificando a expressão:
M g H = M g h + 12 M v^2 + 15 M v^2
Juntando os termos de $ v^2 $:
v^2
M g (H - h) = ( 12 + 15 ) M v^2

Passo 8

Agora, vamos resolver para $ v $:
v
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{10}{7} $:
g (H - h) = 710 v^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
107

Resposta

A velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em $ A $ é:
A

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