Uma esfera homogênea, de massa
e raio
, inicialmente em repouso, rola sem deslizar ao longo do trilho ilustrado na figura ao lado, partindo da extremidade superior esquerda (de altura
), e abandonando o trilho no ponto
(extremidade da esfera, de altura
). Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa:
Qual a velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em
?
Qual a velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera homogênea com massa $ M $ e raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um trilho. Ela começa do repouso no topo, na altura $ H $, e chega até o ponto $ A $, que está na altura $ h $. Queremos descobrir qual é a velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em $ A $.
Para resolver isso, vamos usar conservação de energia. A ideia é que a energia total no começo (quando a esfera está no topo) vai se transformar em diferentes formas de energia quando ela chega em $ A $ – principalmente energia cinética (de movimento) e energia potencial gravitacional (de altura).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas:
- Energia Potencial Gravitacional (Ug): No início, a esfera está na altura $ H $, então ela tem energia potencial.
- Energia Cinética Translacional (K
): Quando a esfera está em movimento, ela tem energia de transllação devido à sua velocidade. - Energia Cinética Rotacional (K
): Além de se mover, a esfera também está girando, o que dá uma energia rotacional. - Energia Potencial Gravitacional em $ A $ (U
): Quando a esfera chega em $ A $, ainda tem uma energia potencial devido à altura $ h $.
Passo 3
No ponto de partida (altura $ H $):
- A esfera está em repouso, então sua energia cinética total é zero.
- Sua única energia é a energia potencial:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
No ponto $ A $ (altura $ h $):
- A esfera tem energia potencial:
- Energia cinética translacional:
onde $ v $ é a velocidade do centro de massa. - Energia cinética rotacional:
where $ I $ is o momento de inércia e $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 4
Sabemos que a esfera rola sem deslizar, o que significa que a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ estão relacionadas por:
Isso nos ajuda a relacionar as duas energias cinéticas.
Passo 5
Vamos usar a conservação de energia, que diz que a energia total no início é igual à energia total no final:
Substituindo os valores:
Passo 6
Substituindo $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na equação acima:
E sabemos que $ I = \frac{2}{5} M R^2 $, então:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Juntando os termos de $ v^2 $:
Passo 8
Agora, vamos resolver para $ v $:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{10}{7} $:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade do centro de massa da esfera quando ela chega em $ A $ é: