Uma esfera isolante sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera (
) é
. (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera
é
. (Dica: Observe que a carga total
na esfera é igual à integral de
, onde
vai
de 0 a
; observe também que a carga
dentro de um raio
é menor do que
. Para calcular as integrais, observe que o elemento de volume
para uma casca esférica de raio
a espessura
é igual a
.)
de 0 a
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera isolante de raio
com densidade de carga não uniforme dada por
e pede o campo elétrico para
e para
. Para resolver, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que, para uma superfície esférica de raio
,
onde
é a carga total encerrada dentro da esfera de raio
. O elemento de volume de uma casca esférica de raio
e espessura
é
Passo 2
Calcular a carga total
da esfera (
de
a
):
Passo 3
Aplicar a Lei de Gauss para
. Por simetria,
é radial e constante em módulo na superfície de raio
, então
Logo, para
:
Passo 4
Calcular a carga encerrada
quando
:
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss para
:
portanto
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
: