Uma esfera isolante sólida de raio R tem uma densidade de carga não uniforme que varia com r de acordo com a expressão \rho=A r^{2}, onde A é uma constante e r<R é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera ( r>R ) é E=A R^{5} / 5 \epsilon_{0} r^{2}. (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera (r<R) é E=A r^{3} / 5 \epsilon_{0}. (Dica: Observe que a carga total Q na esfera é igual à integral de \rho d V, onde r vai
de 0 a R; observe também que a carga q dentro de um raio r<R é menor do que Q. Para calcular as integrais, observe que o elemento de volume d V para uma casca esférica de raio r a espessura d r é igual a 4 \pi r^{2} d r.)

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera isolante de raio R com densidade de carga não uniforme dada por
\rho(r)=A\,r^{2}\quad(r\le R),
e pede o campo elétrico para r>R e para r<R. Para resolver, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que, para uma superfície esférica de raio r,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm enc}}{\epsilon_{0}},
onde Q_{\rm enc} é a carga total encerrada dentro da esfera de raio r. O elemento de volume de uma casca esférica de raio r e espessura dr é
dV = 4\pi r^{2}\,dr.

Passo 2

Calcular a carga total Q da esfera ( r de 0 a R):
Q = \int_{0}^{R} \rho(r)\,dV = \int_{0}^{R} A\,r^{2}\,(4\pi r^{2}\,dr) = 4\pi A \int_{0}^{R} r^{4}\,dr = 4\pi A \,\frac{R^{5}}{5} = \frac{4\pi A\,R^{5}}{5}.

Passo 3

Aplicar a Lei de Gauss para r>R. Por simetria, \mathbf{E} é radial e constante em módulo na superfície de raio r, então
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(4\pi r^{2}) = \frac{Q}{\epsilon_{0}} = \frac{4\pi A\,R^{5}}{5\,\epsilon_{0}}.
Logo, para r>R:
E(r) = \frac{1}{4\pi r^{2}}\;\frac{4\pi A\,R^{5}}{5\,\epsilon_{0}} = \frac{A\,R^{5}}{5\,\epsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 4

Calcular a carga encerrada q(r) quando r<R:
q(r) = \int_{0}^{r} \rho(r')\,dV' = \int_{0}^{r} A\,{r'}^{2}\,(4\pi {r'}^{2}\,dr') = 4\pi A \int_{0}^{r} {r'}^{4}\,dr' = 4\pi A \,\frac{r^{5}}{5} = \frac{4\pi A\,r^{5}}{5}.

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss para r<R:
E(r)\,(4\pi r^{2}) = \frac{q(r)}{\epsilon_{0}} = \frac{4\pi A\,r^{5}}{5\,\epsilon_{0}},
portanto
E(r) = \frac{1}{4\pi r^{2}}\;\frac{4\pi A\,r^{5}}{5\,\epsilon_{0}} = \frac{A\,r^{3}}{5\,\epsilon_{0}}.

Resposta

(a) Para r>R:
E(r) = \frac{A\,R^{5}}{5\,\epsilon_{0}\,r^{2}}.
(b) Para r<R:
E(r) = \frac{A\,r^{3}}{5\,\epsilon_{0}}.

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