Uma esfera de 1 0 0 m m de diâmetro, em aço, é submersa no oceano a uma profundidade em que a pressão é de 9 0 M P a (cerca de 9 0 0 0 m abaixo da superfície). Sendo E=2 0 0 G P a e v=0 , 3 0, determinar:
a) A redução no diâmetro da esfera;
b) A redução no volume da esfera;

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de diâmetro d=100,mm=0,10,m de aço, submersa sob pressão externa p=90,MPa. Os dados do material são módulo de Young E=200,GPa e coeficiente de Poisson nu=0,30. Precisamos achar (a) a redução do diâmetro De<a d e (b) a redução do volume De<a V.

Passo 2

Sob pressão hidrostática sigma1=sigma2=sigma3=-p, a deformação linear em qualquer direção é
varepsilon =1El(sigma1-nu(sigma2+sigma3)r) =1El(-p- nu(-p-p)r) =-p,(1-2nu)E,
A deformação volumétrica relativa é
De<a VV =varepsilon1+varepsilon2+varepsilon3 =3,varepsilon =-3,p,(1-2nu)E,

Passo 3

Calculando a deformação linear numérica:
1-2nu=1-2cdot0,30=0,40, varepsilon=-90times10^6cdot0,40200times10^9 =-1,8times10^-4,

Passo 4

A redução do diâmetro é
De<a d = d,|varepsilon| =0,10,mtimes1,8times10^-4 =1,8times10^-5,m =0,018,mm,

Passo 5

A deformação volumétrica relativa vale
De<a VV =-3cdot90times10^6cdot0,40200times10^9 =-5,4times10^-4,
O volume inicial é
V0=pi6d^3 =pi6(0,10)^3 approx5,236times10^-4,m^3,
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De<a V=V0De<a VV approx5,236times10^-4times(-5,4times10^-4) approx-2,83times10^-7,m^3
ou De<a Vapprox-2,83times10^2,mm^3.

Resposta

A esfera sofre redução de diâmetro
De<a d=0,018,mm
e redução de volume
De<a V=2,83times10^-7,m^3(approx283,mm^3),

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