Questão 7: O potencial de um certo campo eletrostático é da forma V=a(x^2+y^2)+b z^2, onde a e b são constantes. Encontre a magnitude e direção do campo elétrico. Qual a forma das superfícies equipotenciais se a, b>0

Passo 1

O enunciado dá o potencial eletrostático
V = a,(x^2+y^2) + b,z^2,
com a e b constantes, e pede (i) o campo elétrico E em magnitude e direção e (ii) a forma das superfícies equipotenciais quando a,b>0. Vamos usar a definição
E = -nabla V
no sistema cartesiano.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de V. Temos
partial Vpartial x = 2,a,x, partial Vpartial y = 2,a,y, partial Vpartial z = 2,b,z

Passo 3

Aplicando E=-nabla V, obtemos
E = -gl(partial Vpartial x, i +partial Vpartial y, j +partial Vpartial z, kgr) = -2a,x, i -2a,y, j -2b,z, k

Passo 4

A magnitude de E é
|E| = raiz(-2a,x)^2 + (-2a,y)^2 + (-2b,z)^2 = 2,raiza^2(x^2+y^2) + b^2,z^2

Passo 5

O vetor unitário na direção de E é
e = E|E| = -2a,x, i -2a,y, j -2b,z, k 2,raiza^2(x^2+y^2) + b^2,z^2 = -a,x, i - a,y, j - b,z, k raiza^2(x^2+y^2) + b^2,z^2

Passo 6

As superfícies equipotenciais satisfazem V=V0, ou seja
a,(x^2+y^2) + b,z^2 = V0
Para a,b>0 isso é a equação de um elipsoide de revolução (se aneq b) ou esfera (se a=b) centrado na origem.

Resposta

O campo elétrico é
E = -2a,x, i -2a,y, j -2b,z, k,
com magnitude
|E| = 2,raiza^2(x^2+y^2) + b^2z^2
e direção dada pelo vetor unitário
e = -a,x, i - a,y, j - b,z, k raiza^2(x^2+y^2) + b^2z^2
As superfícies equipotenciais são elipsoides da forma
a,(x^2+y^2) + b,z^2 = constante,
isto é, elipsoides de revolução ao redor do eixo z (e esfera se a=b).

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