Questão 8: Demonstre que o potencial de um campo gerado por um dipolo elétrico com momento de dipolo p pode ser escrito como V=p cdot r / 4 pi epsilon0 r^3, onde r é o raio vetor.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, em eletrostática, que o potencial escalar criado por um dipolo elétrico de momento p em um ponto cuja posição relativa ao dipolo é r é dado por
V(r)=pcdotr4pivarepsilon0,r^3
Para isso vamos usar superposição de potenciais de cargas pontuais e uma expansão em série de Taylor para distâncias grandes comparadas ao tamanho do dipolo.

Passo 2

Modelamos o dipolo como duas cargas +q e -q separadas por um vetor fixo d. Colocamos o centro do dipolo na origem, de modo que as cargas estejam em
r+ = +tfrac12d e r- = -tfrac12d. O potencial total em r é a soma dos potenciais
V(r) =14pivarepsilon0gl(ql|r-tfrac12dr| -ql|r+tfrac12dr|gr)

Passo 3

Como estamos interessados em pontos distantes do dipolo ( lVertrrVert gg lVertdrVert), usamos a expansão de Taylor em torno de d=0 para
1lvertrpmtfrac12drvert approx 1r mp tfrac12d,cdot,rr^3 +O(d^2),
onde r=lVertrrVert. Substituindo na expressão de V(r) e cancelando termos de ordem O(d^2), vem
V(r) approx 14pivarepsilon0;ql[l( tfrac1r-tfracdcdotr2,r^3 r) -l( tfrac1r+tfracdcdotr2,r^3 r)r] =14pivarepsilon0;q,dcdotrr^3

Passo 4

Reconhecendo que o momento de dipolo é definido por p=q,d, a expressão acima fica
V(r) =14pivarepsilon0;pcdotrr^3,
justamente a forma desejada.

Resposta

V(r)=pcdotr4pivarepsilon0,r^3

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