Uma esfera maciça de
, com
de raio, está girando a
em torno de um eixo que passa por seu diâmetro. A esfera precisa ser parada em
. (a) Qual é o trabalho necessário para fazê-la parar? (b) Qual é a potência média necessária?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com física rotacional, especificamente com trabalho e potência necessárias para parar uma esfera que está girando. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética de rotação da esfera e depois usar isso para encontrar o trabalho e a potência média. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a energia cinética de rotação da esfera. A fórmula para a energia cinética rotacional é:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia da esfera.
- $ \omega $ é a velocidade angular em rad/s.
Passo 3
O momento de inércia $ I $ para uma esfera maciça girando em torno de um eixo que passa pelo seu diâmetro é:
Dados que temos:
- Massa $ m = 32,0 , kg $
- Raio $ r = 1,20 , m $
Vamos calcular $ I $:
Passo 4
Agora, precisamos converter a velocidade de rotação de revoluções por minuto (rev/min) para radianos por segundo (rad/s). Sabemos que:
Passo 5
Com $ I $ e $ \omega $ calculados, podemos encontrar a energia cinética rotacional:
Passo 6
Para parar a esfera, todo esse trabalho de energia cinética precisa ser dissipada. Então, o trabalho necessário para parar a esfera é igual à energia cinética que vamos remover:
Passo 7
Agora, para encontrar a potência média necessária, usamos a relação entre trabalho e tempo:
Dado que o tempo $ t = 15,0 , s $, temos:
Resposta
(a) O trabalho necessário para parar a esfera é aproximadamente 7.938,6 J.
(b) A potência média necessária é aproximadamente 529,24 W.