Uma esfera maciça de 32,0 kg, com 1,20 m de raio, está girando a 280 rev / min em torno de um eixo que passa por seu diâmetro. A esfera precisa ser parada em 15,0 s. (a) Qual é o trabalho necessário para fazê-la parar? (b) Qual é a potência média necessária?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com física rotacional, especificamente com trabalho e potência necessárias para parar uma esfera que está girando. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética de rotação da esfera e depois usar isso para encontrar o trabalho e a potência média. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a energia cinética de rotação da esfera. A fórmula para a energia cinética rotacional é:
Ecin = 12 I omega^2
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia da esfera.
  • $ \omega $ é a velocidade angular em rad/s.

Passo 3

O momento de inércia $ I $ para uma esfera maciça girando em torno de um eixo que passa pelo seu diâmetro é:
I
Dados que temos:
  • Massa $ m = 32,0 , kg $
  • Raio $ r = 1,20 , m $
Vamos calcular $ I $:
I = 25 m r^2

Passo 4

Agora, precisamos converter a velocidade de rotação de revoluções por minuto (rev/min) para radianos por segundo (rad/s). Sabemos que:
1 , rev = 2pi , rad
omega = 280 , rev/min times 2pi60 = 280 times 2pi60 approx 29,32 , rad/s

Passo 5

Com $ I $ e $ \omega $ calculados, podemos encontrar a energia cinética rotacional:
I

Passo 6

Para parar a esfera, todo esse trabalho de energia cinética precisa ser dissipada. Então, o trabalho necessário para parar a esfera é igual à energia cinética que vamos remover:
W = Ecin approx 7938,6 , J

Passo 7

Agora, para encontrar a potência média necessária, usamos a relação entre trabalho e tempo:
P = Wt
Dado que o tempo $ t = 15,0 , s $, temos:
t = 15,0 , s

Resposta

(a) O trabalho necessário para parar a esfera é aproximadamente 7.938,6 J.
(b) A potência média necessária é aproximadamente 529,24 W.

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