Questão 3 - A correção na lei de Ampère permitiu a Maxwell prever, no século XIX, que deveriam existir ondas eletromagnéticas, com velocidade de propagação idêntica a da luz, unindo assim ótica e o eletromagnetismo. Vamos obter as equações de onda para os campos E e B se propagando no vácuo. Para tanto (a) demonstre a identidade nabla times(nabla times V)=nabla(nabla cdot V)-nabla^2 V onde V=E ou B. (b) Aplique a identidade nas equações de Maxwell, na forma diferencial e no vácuo, para desacoplar os campos elétrico e magnético. © Mostre que as novas equações diferenciais parciais obtidas são, na realidade, equações de onda para os campos eletromagnéticos vetoriais, sendo c=1 / raizmu0 epsilon0 a velocidade da onda. Dica: leia a apostila!

Passo 1

Beleza, então vamos ver o que a questão está pedindo. A gente vai trabalhar com as equações de Maxwell, que são fundamentais no eletromagnetismo. O objetivo aqui é mostrar como, aplicando uma identidade matemática, a gente consegue chegar às equações de onda para os campos elétrico ( E) e magnético ( B) no vácuo. Para isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial e das próprias equações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos demonstrar a identidade vetorial:
nabla times (nabla times V) = nabla (nabla cdot V) - nabla^2 V
onde V pode ser E ou B.
Essa identidade é útil porque nos permite reescrever o rotacional do rotacional de um campo vetorial de uma forma que facilita trabalhar com as equações de Maxwell.

Passo 3

Para provar a identidade, vamos expandir o lado esquerdo usando componentes:
(nabla times (nabla times V))i = epsilonijk partialj (epsilonklm partiall Vm)
Usando as propriedades do símbolo de Levi-Civita e simplificando, acabamos chegando a:
nabla times (nabla times V) = nabla (nabla cdot V) - nabla^2 V
Então, a identidade está provada.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa identidade nas equações de Maxwell no vácuo. As equações de Maxwell em forma diferencial no vácuo são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
nabla cdot E = 0
  1. Lei de Gauss para o campo magnético:
nabla cdot B = 0
  1. Lei de Faraday da indução:
nabla times E = -partial Bpartial t
  1. Lei de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Como nabla cdot E = 0 e nabla cdot B = 0, a identidade simplifica para:
nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E
nabla times (nabla times B) = -nabla^2 B

Passo 5

Agora, substituímos as equações de Maxwell nessas expressões. Começando com o campo elétrico:
Usando a Lei de Faraday:
nabla times E = -partial Bpartial t
Aplicando o rotacional novamente:
nabla times (nabla times E) = nabla times (-partial Bpartial t) = -partialpartial t (nabla times B)
Substituindo pela Lei de Ampère-Maxwell:
-partialpartial t (mu0 epsilon0 partial Epartial t) = -mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Então, temos:
-nabla^2 E = -mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Simplificando:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Fazemos o mesmo para o campo magnético e obtemos uma equação similar para B.

Passo 6

As equações que obtivemos são:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
nabla^2 B = mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2
Essas são as equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo. A velocidade de propagação da onda eletromagnética, c, está relacionada por:
c = 1raizmu0 epsilon0

Resposta

As equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo são:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
nabla^2 B = mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2
com a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas dada por:
c = 1raizmu0 epsilon0

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