Questão 3 - A correção na lei de Ampère permitiu a Maxwell prever, no século XIX, que deveriam existir ondas eletromagnéticas, com velocidade de propagação idêntica a da luz, unindo assim ótica e o eletromagnetismo. Vamos obter as equações de onda para os campos
se propagando no vácuo. Para tanto (a) demonstre a identidade
onde
ou
. (b) Aplique a identidade nas equações de Maxwell, na forma diferencial e no vácuo, para desacoplar os campos elétrico e magnético. © Mostre que as novas equações diferenciais parciais obtidas são, na realidade, equações de onda para os campos eletromagnéticos vetoriais, sendo
a velocidade da onda. Dica: leia a apostila!
Passo 1
Beleza, então vamos ver o que a questão está pedindo. A gente vai trabalhar com as equações de Maxwell, que são fundamentais no eletromagnetismo. O objetivo aqui é mostrar como, aplicando uma identidade matemática, a gente consegue chegar às equações de onda para os campos elétrico (
) e magnético (
) no vácuo. Para isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial e das próprias equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos demonstrar a identidade vetorial:
onde
pode ser
ou
.
Essa identidade é útil porque nos permite reescrever o rotacional do rotacional de um campo vetorial de uma forma que facilita trabalhar com as equações de Maxwell.
Passo 3
Para provar a identidade, vamos expandir o lado esquerdo usando componentes:
Usando as propriedades do símbolo de Levi-Civita e simplificando, acabamos chegando a:
Então, a identidade está provada.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa identidade nas equações de Maxwell no vácuo. As equações de Maxwell em forma diferencial no vácuo são:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Como
e
, a identidade simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos as equações de Maxwell nessas expressões. Começando com o campo elétrico:
Usando a Lei de Faraday:
Aplicando o rotacional novamente:
Substituindo pela Lei de Ampère-Maxwell:
Então, temos:
Simplificando:
Fazemos o mesmo para o campo magnético e obtemos uma equação similar para
.
Passo 6
As equações que obtivemos são:
Essas são as equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo. A velocidade de propagação da onda eletromagnética,
, está relacionada por:
Resposta
As equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo são:
com a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas dada por: