Um objeto de massa
está suspenso por um fio de comprimento
e massa
, em um local onde a aceleração da gravidade tem modulo
. Indique a alternativa abaixo que melhor representa o tempo
necessário para que uma vibração se propague pela corda, do ponto de sustentação até o objeto (dado
onde
é a densidade linear da corda):
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede o tempo
que uma vibração leva para se propagar pela corda do ponto de sustentação até o objeto de massa
. Informações fornecidas:
- comprimento da corda:
; - massa da corda:
com ; - massa suspensa:
; - aceleração da gravidade:
; - velocidade de onda na corda dada por
, onde é a densidade linear da corda (massa por unidade de comprimento) e é a tensão local na corda.
Passo 2
Vamos modelar a corda e a tensão ao longo dela. Defino a coordenada
medida a partir do objeto, indo do fundo da corda (onde está
) até o ponto de sustentação, com
no objeto e
no suporte. A densidade linear é
A tensão em um ponto a uma distância
do objeto é o peso que esse ponto deve suportar: o peso do objeto mais o peso da parte da corda abaixo daquele ponto. Portanto
Expliquei:
é o peso do corpo;
é a massa do trecho de corda de comprimento
e
seu peso.
Passo 3
A velocidade local da onda naquela posição é, pela fórmula dada,
Para um pequeno segmento de comprimento
o tempo que a onda leva para atravessá-lo é
O tempo total para ir de
até
é a integral desses tempos parciais.
Passo 4
Escrevo a integral do tempo total:
Faço a substituição
, de modo que
e, quando
temos
, quando
temos
. Assim
Passo 5
Avalio a integral:
Portanto
Passo 6
Substituo
para escrever em termos dos dados do enunciado:
Esta é a expressão exata (não aproximada) para o tempo.
Passo 7
Agora uso a hipótese
para aproximar a diferença de raízes. Faço a expansão em série (desenvolvimento binomial):
logo
Substituo essa aproximação em
:
Simplificando:
Passo 8
Concluo que, no limite
, o tempo pedido é
que corresponde à alternativa (c).
Resposta
c)