Um objeto de massa M está suspenso por um fio de comprimento l e massa m \ll M, em um local onde a aceleração da gravidade tem modulo g. Indique a alternativa abaixo que melhor representa o tempo t necessário para que uma vibração se propague pela corda, do ponto de sustentação até o objeto (dado v=\sqrt{\frac{F}{\mu}} onde \mu é a densidade linear da corda):
a) t=\sqrt{\frac{l M}{g m}}
b) t=\sqrt{\frac{l}{g}}
c) t=\sqrt{\frac{l m}{g M}}
d) t=\frac{m}{M} \sqrt{\frac{l}{g}}

Passo 1

O enunciado pede o tempo t que uma vibração leva para se propagar pela corda do ponto de sustentação até o objeto de massa M. Informações fornecidas:
  • comprimento da corda: l;
  • massa da corda: m com m\ll M;
  • massa suspensa: M;
  • aceleração da gravidade: g;
  • velocidade de onda na corda dada por v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}, onde \mu é a densidade linear da corda (massa por unidade de comprimento) e F é a tensão local na corda.

Passo 2

Vamos modelar a corda e a tensão ao longo dela. Defino a coordenada x medida a partir do objeto, indo do fundo da corda (onde está M) até o ponto de sustentação, com x=0 no objeto e x=l no suporte. A densidade linear é
\mu=\frac{m}{l}.
A tensão em um ponto a uma distância x do objeto é o peso que esse ponto deve suportar: o peso do objeto mais o peso da parte da corda abaixo daquele ponto. Portanto
F(x)=(M+\mu x)\,g.
Expliquei: M g é o peso do corpo; \mu x é a massa do trecho de corda de comprimento x e (\mu x)g seu peso.

Passo 3

A velocidade local da onda naquela posição é, pela fórmula dada,
v(x)=\sqrt{\frac{F(x)}{\mu}}=\sqrt{\frac{(M+\mu x)g}{\mu}}.
Para um pequeno segmento de comprimento dx o tempo que a onda leva para atravessá-lo é
dt=\frac{dx}{v(x)}=\sqrt{\frac{\mu}{(M+\mu x)g}}\,dx.
O tempo total para ir de x=0 até x=l é a integral desses tempos parciais.

Passo 4

Escrevo a integral do tempo total:
t=\int_{0}^{l} \sqrt{\frac{\mu}{(M+\mu x)g}}\,dx =\sqrt{\frac{\mu}{g}}\int_{0}^{l}\frac{dx}{\sqrt{M+\mu x}}.
Faço a substituição u=M+\mu x, de modo que du=\mu\,dx e, quando x=0 temos u=M, quando x=l temos u=M+\mu l=M+m. Assim
t=\sqrt{\frac{\mu}{g}}\int_{u=M}^{u=M+m}\frac{1}{\mu}\frac{du}{\sqrt{u}} =\frac{1}{\sqrt{\mu g}}\int_{M}^{M+m}\frac{du}{\sqrt{u}}.

Passo 5

Avalio a integral:
\int_{M}^{M+m}\frac{du}{\sqrt{u}}=2\big(\sqrt{M+m}-\sqrt{M}\big).
Portanto
t=\frac{2}{\sqrt{\mu g}}\big(\sqrt{M+m}-\sqrt{M}\big).

Passo 6

Substituo \mu=\dfrac{m}{l} para escrever em termos dos dados do enunciado:
t=2\sqrt{\frac{l}{m g}}\left(\sqrt{M+m}-\sqrt{M}\right).
Esta é a expressão exata (não aproximada) para o tempo.

Passo 7

Agora uso a hipótese m\ll M para aproximar a diferença de raízes. Faço a expansão em série (desenvolvimento binomial):
\sqrt{M+m}=\sqrt{M}\sqrt{1+\frac{m}{M}}\approx\sqrt{M}\left(1+\frac{1}{2}\frac{m}{M}\right),
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\sqrt{M+m}-\sqrt{M}\approx\frac{m}{2\sqrt{M}}.
Substituo essa aproximação em t:
t\approx 2\sqrt{\frac{l}{m g}}\cdot\frac{m}{2\sqrt{M}} =\sqrt{\frac{l}{m g}}\cdot\frac{m}{\sqrt{M}}.
Simplificando:
t\approx\sqrt{\frac{l m}{g M}}.

Passo 8

Concluo que, no limite m\ll M, o tempo pedido é
t=\sqrt{\frac{l m}{g M}},
que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) t=\sqrt{\frac{l m}{g M}}

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