Um gás monoatômico, inicialmente à pressão
sofre uma expansão adiabática reversível tal que seu volume quadruplica. A pressão final desse gás é:
a) aproximadamente
b) aproximadamente
c) aproximadamente
d) aproximadamente
a) aproximadamente
b) aproximadamente
c) aproximadamente
d) aproximadamente
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
- Informação: a pressão inicial é ).
- Informação: o gás é monoatômico.
- Informação: o processo é uma expansão adiabática reversível e o volume final é quatro vezes o volume inicial (ou seja, o volume quadruplica). Vou usar a notação ) para o volume inicial e ) para o volume final. Da figura textual temos ).
- Pergunta: qual é a pressão final ) em função de )? (As alternativas numéricas estão dadas).
Passo 2
Conceito e fórmula-chave (explicação didática): em um processo adiabático reversível para um gás ideal vale a relação
onde
) é a pressão,
) o volume e
) (gama) é a razão entre capacidades térmicas molares à pressão constante e a volume constante:
Explicando por partes: “adiabático” significa que não há troca de calor com o meio; “reversível” significa que o processo é feito de forma infinitesimalmente lenta e sem dissipação, permitindo usar a relação
constante. Essa relação é obtida integrando a primeira lei da termodinâmica para processo adiabático reversível e usando a equação de estado do gás ideal, mas aqui vamos usá-la já pronta porque é a ferramenta padrão para esse tipo de problema.
Passo 3
Determinar
) para um gás monoatômico (passo importante e didático):
Um gás monoatômico tem apenas as três direções de movimento translacional como graus de liberdade, então seu calor específico molar a volume constante é
Um gás monoatômico tem apenas as três direções de movimento translacional como graus de liberdade, então seu calor específico molar a volume constante é
onde
) é a constante universal dos gases. Então
Portanto
Resumo: para gás monoatômico
). (Dica prática: memorize
para monoatômico,
para diatômico ideal na faixa onde rotações existem mas vibrações não contribuem.)
Passo 4
Relacionar pressões e volumes usando
constante: como a constante é a mesma no início e no fim,
Isolando
) obtemos
Passo 5
Substituir
) e
) na expressão de
):
Agora vamos calcular numericamente
de forma clara e sem pular etapas. Note que
, então
O valor de
) (a raiz cúbica de 2) é aproximadamente
) (pois
). Logo
Portanto
Assim
Passo 6
Interpretação e escolha da alternativa: entre as alternativas dadas, o valor que mais se aproxima de
) é a alternativa d) que diz aproximadamente
). (Verificação rápida: as outras alternativas
,
,
) estão muito distantes.)
Resposta
d) aproximadamente