Um gás monoatômico, inicialmente à pressão P_{0} sofre uma expansão adiabática reversível tal que seu volume quadruplica. A pressão final desse gás é:
a) aproximadamente 0,50 P_{0}
b) aproximadamente 4,00 P_{0}
c) aproximadamente 0,25 P_{0}
d) aproximadamente 0,10 P_{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Informação: a pressão inicial é \(P_{0}).
  • Informação: o gás é monoatômico.
  • Informação: o processo é uma expansão adiabática reversível e o volume final é quatro vezes o volume inicial (ou seja, o volume quadruplica). Vou usar a notação \(V_{0}) para o volume inicial e \(V_{f}) para o volume final. Da figura textual temos \(V_{f}=4V_{0}).
  • Pergunta: qual é a pressão final \(P_{f}) em função de \(P_{0})? (As alternativas numéricas estão dadas).

Passo 2

Conceito e fórmula-chave (explicação didática): em um processo adiabático reversível para um gás ideal vale a relação
PV^{\gamma}=\text{constante},
onde \(P) é a pressão, \(V) o volume e \(\gamma) (gama) é a razão entre capacidades térmicas molares à pressão constante e a volume constante:
\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}.
Explicando por partes: “adiabático” significa que não há troca de calor com o meio; “reversível” significa que o processo é feito de forma infinitesimalmente lenta e sem dissipação, permitindo usar a relação PV^{\gamma}= constante. Essa relação é obtida integrando a primeira lei da termodinâmica para processo adiabático reversível e usando a equação de estado do gás ideal, mas aqui vamos usá-la já pronta porque é a ferramenta padrão para esse tipo de problema.

Passo 3

Determinar \(\gamma) para um gás monoatômico (passo importante e didático):
Um gás monoatômico tem apenas as três direções de movimento translacional como graus de liberdade, então seu calor específico molar a volume constante é
C_{v}=\frac{3}{2}R,
onde \(R) é a constante universal dos gases. Então
C_{p}=C_{v}+R=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
Portanto
\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}=\frac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{3}{2}R}=\frac{5}{3}.
Resumo: para gás monoatômico \(\gamma=\tfrac{5}{3}). (Dica prática: memorize \gamma=5/3 para monoatômico, \gamma=7/5 para diatômico ideal na faixa onde rotações existem mas vibrações não contribuem.)

Passo 4

Relacionar pressões e volumes usando PV^{\gamma}= constante: como a constante é a mesma no início e no fim,
P_{0}V_{0}^{\gamma}=P_{f}V_{f}^{\gamma}.
Isolando \(P_{f}) obtemos
P_{f}=P_{0}\left(\frac{V_{0}}{V_{f}}\right)^{\gamma}.

Passo 5

Substituir \(V_{f}=4V_{0}) e \(\gamma=\tfrac{5}{3}) na expressão de \(P_{f}):
P_{f}=P_{0}\left(\frac{V_{0}}{4V_{0}}\right)^{5/3}=P_{0}\left(\frac{1}{4}\right)^{5/3}=P_{0}\,4^{-5/3}.
Agora vamos calcular numericamente 4^{-5/3} de forma clara e sem pular etapas. Note que 4=2^{2}, então
4^{5/3}=(2^{2})^{5/3}=2^{10/3}=2^{3}\cdot 2^{1/3}=8\cdot 2^{1/3}.
O valor de \(2^{1/3}) (a raiz cúbica de 2) é aproximadamente \(1,2599) (pois 1,2599^{3}\approx 2). Logo
4^{5/3}\approx 8\times 1,2599\approx 10,079.
Portanto
4^{-5/3}\approx \frac{1}{10,079}\approx 0,0992.
Assim
P_{f}\approx 0,0992\,P_{0}\approx 0,10\,P_{0}.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa: entre as alternativas dadas, o valor que mais se aproxima de \(0,0992P_{0}) é a alternativa d) que diz aproximadamente \(0,10P_{0}). (Verificação rápida: as outras alternativas \(0,50P_{0}, 4,00P_{0}, 0,25P_{0}) estão muito distantes.)

Resposta

d) aproximadamente 0,10\,P_{0}

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