Um fluido ideal (água, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) flui por um tubo de Venturi horizontal. No duto principal, a área da seção transversal é A_{1}=20 \mathrm{~cm}^{2} e a velocidade da água é v_{1}=2 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Na seção mais estreita (garganta), a área é A_{2}=10 \mathrm{~cm}^{2}.
a) Calcule a velocidade da água na garganta ( v_{2} ).
b) Utilizando a Equação de Bernoulli, determine a diferença de pressão ( \Delta \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_{1}-\boldsymbol{P}_{2} ) entre o duto principal e a garganta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) encontrar a velocidade da água na garganta, v_{2};
  • (b) calcular a diferença de pressão \Delta P = P_{1}-P_{2} entre o duto principal e a garganta.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • densidade da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • área da seção no duto principal: A_{1}=20\\ \mathrm{cm^{2}};
  • velocidade no duto principal: v_{1}=2\\ \mathrm{m/s};
  • área da garganta: A_{2}=10\\ \mathrm{cm^{2}}.
Observação importante sobre unidades (vou usar metros no SI):
1\\ \mathrm{cm^{2}} = 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
portanto
A_{1}=20\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad A_{2}=10\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 2

Princípio da continuidade (explicação didática):
  • Para um fluido incompressível e escoamento estacionário, a massa que entra por um corte do tubo por segundo é igual à massa que sai por outro corte por segundo. Como a densidade é constante, isso vira a conservação do volume por unidade de tempo.
  • Matematicamente isso é escrito como
A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2},
onde:
  • A_{1} e A_{2} são as áreas de seção (em \mathrm{m^{2}});
  • v_{1} e v_{2} são as velocidades médias do fluido nas seções (em \mathrm{m/s}).
Isolando v_{2} temos a fórmula que vamos aplicar na letra (a):
v_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}}\,v_{1}.

Passo 3

Cálculo numérico de v_{2}:
  • Primeiro a razão das áreas:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{2{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}=2.
  • Aplicando na fórmula:
v_{2}=2\cdot v_{1}=2\cdot(2\\ \mathrm{m/s})=4\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: na garganta a seção é menor, então a água acelera — a velocidade dobrou de 2\\ \mathrm{m/s} para 4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Equação de Bernoulli (explicação didática):
  • Para um escoamento ideal (incompressível, sem viscosidade) e estacionário ao longo de uma mesma linha de corrente, a soma da pressão estática, da pressão dinâmica e da energia potencial por unidade de volume é constante.
  • Em forma simplificada:
P + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante}.
  • Como o tubo é horizontal, as alturas são iguais ( z_{1}=z_{2}), então os termos \rho g z se cancelam e resta:
P_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = P_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}.
  • Reorganizando para obter a diferença de pressão pedida:
\Delta P \equiv P_{1}-P_{2} = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\bigr).
Aqui:
  • P_{1} e P_{2} têm unidades de Pascal ( \mathrm{Pa});
  • o termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é chamado de pressão dinâmica (unidade \mathrm{Pa} também).

Passo 5

Cálculo numérico de \Delta P:
  • Primeiro calcule v_{2}^{2}-v_{1}^{2}:
v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Agora use \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} na fórmula:
\Delta P=\tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot 12 = 500\cdot12 = 6000\\ \mathrm{Pa}.
  • Em quilopascal:
6000\\ \mathrm{Pa}=6{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: \Delta P>0 significa que P_{1}>P_{2}, ou seja, a pressão no duto principal é maior do que na garganta — isso é consistente com a água ter velocidade maior na garganta.

Passo 6

Dicas rápidas para a hora da prova (para você aplicar em problemas parecidos):
  • Sempre converta áreas para \mathrm{m^{2}} se os dados estiverem em \mathrm{cm^{2}}.
  • Use primeiro a continuidade A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2} para achar a velocidade na seção diferente.
  • Depois aplique Bernoulli entre as duas seções; se o tubo for horizontal, descarte os termos \rho g z.
  • Verifique unidades (resultado em \mathrm{Pa} ou \mathrm{kPa}) e o sinal de \Delta P.

Resposta

\;v_{2}=4\\ \mathrm{m/s}\n
\;\Delta P = P_{1}-P_{2}=6000\\ \mathrm{Pa}=6{,}0\\ \mathrm{kPa}

Exercícios relacionados