Uma esfera maciça isolante com raio de 1,1 \mathrm{~m} é carregada uniformemente com carga de 5,7 \mathrm{nC}. Calcule a magnitude do campo elétrico a uma distância de metade do raio a partir do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera isolante, de raio R=1,1\,\mathrm{m}, carregada com carga total Q=5,7\,\mathrm{nC}. Pede o módulo do campo elétrico a uma distância r=\tfrac{R}{2} do centro. O conteúdo principal é a Lei de Gauss para uma distribuição de carga volumétrica uniforme.

Passo 2

Para uma distribuição esférica uniforme, a Lei de Gauss diz que, em um raio interno r<R, apenas a carga contida em uma esfera de raio r contribui para o campo em r. A simetria garante que o campo seja radial e igual em magnitude em toda a superfície gaussiana de raio r. A forma diferencial da Lei de Gauss é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.

Passo 3

A carga interna Q_{\text{int}} é a fração do volume interno sobre o volume total:
Q_{\text{int}} = Q \frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{\tfrac{4}{3}\pi R^3} = Q\,\frac{r^3}{R^3}.

Passo 4

O fluxo pela superfície de raio r vale E(r)\cdot 4\pi r^2. Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q\,r^3/R^3}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r}{R^3}.

Passo 5

Agora basta inserir Q=5,7\times10^{-9}\,\mathrm{C}, r=0,55\,\mathrm{m} e R=1,1\,\mathrm{m}. Usando \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}, temos
E\bigl(0,55\bigr) =8{,}99\times10^9\;\frac{5{,}7\times10^{-9}\times0{,}55}{(1{,}1)^3} \approx2{,}12\times10^{1}\,\mathrm{N/C}.

Resposta

E = 2{,}12\times10^{1}\,\mathrm{N/C} (aproximadamente 21{,}2\,\mathrm{N/C}).

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