Novamente, uma esfera maciça isolante com raio de 8,7 \mathrm{~m} é carregada uniformemente com carga de 3,8 \mathrm{nC}. Calcule o potencial elétrico a uma distância de metade do raio a partir do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera maciça isolante de raio R=8,7 m carregada uniformemente com carga total Q=3,8\times10^{-9} C. Pede-se o potencial elétrico no interior da esfera a uma distância r=\tfrac{R}{2} do centro. O conteúdo principal é eletrostática de meios contínuos: usamos a Lei de Gauss para achar o campo interno e depois integramos esse campo para obter o potencial.

Passo 2

Para r\le R, a carga contida no interior de raio r é proporcional ao volume:
Q_{\rm int} = Q\;\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{\tfrac{4}{3}\pi R^3} = Q\,\frac{r^3}{R^3}.
Aplicando a Lei de Gauss, o campo interno é
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\rm int}}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r}{R^3}.

Passo 3

O potencial com referência em infinito satisfaz
V(r) - V(\infty) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,\mathrm{d}r'.
Separando em duas partes (de \infty a R e de R a r) e usando a continuidade em R, obtém-se no interior
V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{2R} \Bigl(3 - \frac{r^2}{R^2}\Bigr).

Passo 4

Substituindo r = \tfrac{R}{2} temos \tfrac{r^2}{R^2} = \tfrac14 e
3 - \frac{r^2}{R^2} = 3 - \tfrac14 = 2,75.
Usando k = \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,988\times10^9,N· m^{2}/ C^{2}, Q=3,8\times10^{-9} C e R=8,7 m:
\frac{k\,Q}{2R} = \frac{8,988\times10^9 \times 3,8\times10^{-9}}{2\times8,7} \approx1,963\\ \mathrm{V}
V\Bigl(\tfrac{R}{2}\Bigr) = 1,963\times2,75 \approx5,40\\ \mathrm{V}.

Resposta

V\bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)\approx5,40\\ \mathrm{V}.

Exercícios relacionados