Uma esfera maciça isolante com raio de 1,1 \mathrm{~m} é carregada uniformemente com carga de 5,7 \mathrm{nC}. Novamente, uma esfera maciça isolante com raio de 8,7 \mathrm{~m} é carregada uniformemente com carga de 3,8 \mathrm{nC}. Calcule o potencial elétrico a uma distância de metade do raio a partir do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas maciças isolantes, cada uma com carga uniformemente distribuída no volume. A primeira tem raio R_1=1,1,m e carga Q_1=5,7,nC, a segunda tem raio R_2=8,7,m e carga Q_2=3,8,nC. Queremos o potencial elétrico no interior de cada esfera, a uma distância r=R/2 do centro.

Passo 2

Para uma esfera maciça isolante uniformemente carregada, o campo elétrico dentro r\le R é
E(r)=\frac{k\,Q}{R^3}\,r,
e o potencial, tomando V(\infty)=0, é obtido integrando E de r até +\infty. O resultado padrão é
V(r)=\frac{k\,Q}{2R}\Bigl(3-\frac{r^2}{R^2}\Bigr).

Passo 3

Substituindo r=R/2 na expressão de V(r) temos
V\bigl(R/2\bigr) =\frac{k\,Q}{2R}\Bigl(3-\frac{(R/2)^2}{R^2}\Bigr) =\frac{k\,Q}{2R}\Bigl(3-\tfrac14\Bigr) =\frac{11\,k\,Q}{8\,R}.

Passo 4

Para a primeira esfera ( Q_1=5,7\times10^{-9} C, R_1=1,1 m):
V_1 =\frac{11\,(8,99\times10^{9})\,(5,7\times10^{-9})}{8\,(1,1)} \approx64,1\text{ V}.

Passo 5

Para a segunda esfera ( Q_2=3,8\times10^{-9} C, R_2=8,7 m):
V_2 =\frac{11\,(8,99\times10^{9})\,(3,8\times10^{-9})}{8\,(8,7)} \approx5,4\text{ V}.

Resposta

V_1\approx64,1,V V_2\approx5,4,V

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