Uma esfera maciça não condutora de raio a=2,00 \mathrm{~cm} é concêntrica com uma casca esférica também não condutora de raio interno b=(4,00) \mathrm{cm} e raio externo c= (4,80) \mathrm{cm}. A esfera possui uma carga \mathrm{q}_{1}=+5,00 \times 10^{-6} \mathrm{C} uniformemente distribuída e a casca possui uma carga \mathrm{q}_{2}=-\mathrm{q}_{1}, também uniformemente distribuída. Determine 0 módulo do campo elétrico em \mathrm{r}=4,20 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado descreve duas distribuições esféricas concêntricas de cargas volumétricas uniformes:
– Uma esfera sólida de raio a=2{,}00\\ \mathrm{cm} com carga total q_1=+5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
– Uma casca esférica de raios interno b=4{,}00\\ \mathrm{cm} e externo c=4{,}80\\ \mathrm{cm} com carga total q_2=-q_1 uniformemente distribuída.
Queremos o campo elétrico em r=4{,}20\\ \mathrm{cm}, que está dentro da espessura da casca. Pelo teorema de Gauss, em situação esférica, basta calcular a carga total contida na esfera de raio r e usar
E(r)=\frac{Q_{\rm encl}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,.

Passo 2

Como r>a, toda a carga q_1 da esfera interna está contida. A casca tem densidade volumétrica
\rho_2=\frac{q_2}{\tfrac{4}{3}\pi\bigl(c^3-b^3\bigr)}\,.
Em metros: b=0{,}04\\ \mathrm{m}, c=0{,}048\\ \mathrm{m}, q_2=-5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Logo
c^3-b^3=(0{,}048)^3-(0{,}04)^3\approx4{,}6592\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3},
\rho_2=\frac{-5{,}00\times10^{-6}}{\tfrac{4}{3}\pi\,(4{,}6592\times10^{-5})}\approx-0{,}02559\\ \mathrm{C/m^3}.

Passo 3

A parte da casca até r=0{,}042\\ \mathrm{m} ocupa o volume
V_{\rm part}=\tfrac{4}{3}\pi\bigl(r^3-b^3\bigr) =\tfrac{4}{3}\pi\bigl((0{,}042)^3-(0{,}04)^3\bigr) \approx4{,}223\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
A carga dessa parte é
q_{\rm shell,encl}=\rho_2\,V_{\rm part}\approx(-0{,}02559)\times(4{,}223\times10^{-5}) \approx-1{,}08\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

A carga total contida em r=4{,}20\\ \mathrm{cm} é
Q_{\rm encl}=q_1+q_{\rm shell,encl} =5{,}00\times10^{-6}+(-1{,}08\times10^{-6}) =3{,}92\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Aplicando Gauss:
E(r) =\frac{Q_{\rm encl}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} =\frac{3{,}92\times10^{-6}}{4\pi(8{,}854\times10^{-12})(0{,}042)^2} \approx2{,}00\times10^{7}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

E(4{,}20\\ \mathrm{cm})\approx2{,}00\times10^{7}\\ \mathrm{V/m} (para fora).

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