Uma esfera não condutora de raio R=4,6 \mathrm{~cm} possui uma distribuição de carga dada por \rho=\left(14,1 \times 10^{-6}\right) \cdot \mathrm{r}^{2} / \mathrm{R}, onde (\mathrm{r}) é a distância ao centro da esfera. Determine o módulo do campo elétrico em \mathrm{R} / 2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera não condutora de raio R=4{,}6\\ \text{cm}=0{,}046\\ \text{m} com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=\bigl(14{,}1\times10^{-6}\bigr)\,\frac{r^{2}}{R}\quad\bigl[\text{C/m}^3\bigr]
e pede o módulo do campo elétrico em r=R/2. O conteúdo principal é a Lei de Gauss em situação esfericamente simétrica:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Para simetria esférica o campo em módulo satisfaz
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\mathrm{int}}(r)}{\varepsilon_{0}},
ou seja
E(r) = \frac{Q_{\mathrm{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
Aqui Q_{\mathrm{int}}(r) é a carga total contida na região 0\le r'\le r.

Passo 3

Escrevemos Q_{\mathrm{int}}(r) como integral da densidade:
Q_{\mathrm{int}}(r) = \int_{V_{r}} \rho(r')\,dV = 4\pi \int_{0}^{r} \rho(r')\,r'^{2}\,dr'.
Substituindo \rho(r')=(14{,}1\times10^{-6})\,\tfrac{r'^{2}}{R}, vem
Q_{\mathrm{int}}(r) =4\pi\frac{14{,}1\times10^{-6}}{R}\int_{0}^{r} r'^{4}\,dr'.

Passo 4

Calculemos o integral
\int_{0}^{r} r'^{4}\,dr' = \frac{r^{5}}{5}.
Logo
Q_{\mathrm{int}}(r) =4\pi\frac{14{,}1\times10^{-6}}{R}\,\frac{r^{5}}{5} =\frac{4\pi\,(14{,}1\times10^{-6})}{5R}\,r^{5}.

Passo 5

Agora colocamos r=R/2. Então
Q_{\mathrm{int}}\bigl(R/2\bigr) =\frac{4\pi\,(14{,}1\times10^{-6})}{5R}\,\bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)^{5} =\frac{4\pi\,(14{,}1\times10^{-6})\,R^{5}}{5R\,2^{5}} =\frac{4\pi\,(14{,}1\times10^{-6})\,R^{4}}{5\cdot32} =\frac{14{,}1\times10^{-6}\,\pi\,R^{4}}{40}.

Passo 6

Substituindo em
E\bigl(R/2\bigr) =\frac{Q_{\mathrm{int}}(R/2)}{4\pi\varepsilon_{0}\,(R/2)^{2}},
temos
E\bigl(R/2\bigr) =\frac{\displaystyle\frac{14{,}1\times10^{-6}\,\pi\,R^{4}}{40}} {\displaystyle 4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{R^{2}}{4}} =\frac{14{,}1\times10^{-6}\,R^{4}}{40\;4\varepsilon_{0}\,\frac{R^{2}}{4}} =\frac{14{,}1\times10^{-6}\,R^{2}}{40\,\varepsilon_{0}}.

Passo 7

Bastaplugarmos R=0{,}046\\ \text{m} e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}:
R^{2}=(0{,}046)^{2}=2{,}116\times10^{-3}\,\text{m}^{2},\quad 14{,}1\times10^{-6}\,R^{2}=14{,}1\times10^{-6}\times2{,}116\times10^{-3} =2{,}984\times10^{-8}.
Então
E(R/2) =\frac{2{,}984\times10^{-8}}{40\times8{,}854\times10^{-12}} \approx84{,}3\\ \text{N/C}.

Resposta

O módulo do campo elétrico em r=R/2 é aproximadamente 84\\ \text{N/C}.

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