Uma esfera maciça não condutora de raio a=2,00 \mathrm{~cm} é concêntrica com uma casca esférica também não condutora de raio interno b=(4,00) \mathrm{cm} e raio externo c= (4,80) \mathrm{cm}. A esfera possui uma carga \mathrm{q}_{1}=+5,00 \times 10^{-6} \mathrm{C} uniformemente distribuída e a casca possui uma carga \mathrm{q}_{2}=-\mathrm{q}_{1}, também uniformemente distribuída. Determine 0 módulo do campo elétrico em \mathrm{r}=2,50 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado apresenta uma esfera maciça não condutora de raio a = 2{,}00\,\mathrm{cm} com carga total q_{1} = +5{,}00 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} uniformemente distribuída, concêntrica a uma casca esférica não condutora de raio interno b = 4{,}00\,\mathrm{cm} e externo c = 4{,}80\,\mathrm{cm}, que possui carga total q_{2} = -q_{1} também uniformemente distribuída. Pede-se o módulo do campo elétrico em r = 2{,}50\,\mathrm{cm}. O conteúdo principal é a Lei de Gauss para distribuições com simetria esférica.

Passo 2

Identificamos em que região estamos:
Como a = 2{,}00\,\mathrm{cm} < r = 2{,}50\,\mathrm{cm} < b = 4{,}00\,\mathrm{cm}, o ponto está fora da esfera sólida e dentro do “vácuo” entre esfera e casca. Nesse intervalo, toda carga contida em raio menor que r é apenas q_{1}; a casca (com carga q_{2}) ainda não contribui, pois só começa em r=b.

Passo 3

Pela Lei de Gauss, para uma superfície esférica de raio r centrada nas mesmas coordenadas, temos
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui q_{\text{int}} = q_{1}. Logo
E(r) = \frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 4

Passamos tudo para o SI: \displaystyle r = 2{,}50\,\mathrm{cm} = 0{,}0250\,\mathrm{m}. Sabendo que \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = 9{,}0\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
E = 9{,}0\times10^{9}\,\frac{5{,}00\times10^{-6}}{(0{,}0250)^{2}} =9{,}0\times10^{9}\times\frac{5{,}00\times10^{-6}}{6{,}25\times10^{-4}} =9{,}0\times10^{9}\times0{,}0080 =7{,}20\times10^{7}\,\mathrm{N/C}.

Resposta

E(2{,}50\,\mathrm{cm}) = 7{,}20\times10^{7}\,\mathrm{N/C} (radialmente para fora).

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