Uma esfera maciça, não-condutora, de raio R, tem uma distribuição de carga não-uniforme de densidade volumétrica dada por \rho=\rho_{s} r / R, onde \rho_{\mathrm{s}} é uma constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total da esfera é Q=\pi \rho_{s} R^{3} e (b) o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dado por
E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{R^{4}} r^{2}

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera maciça não-condutora de raio R com densidade volumétrica de carga não-uniforme
\rho(r)=\rho_{s}\,\frac{r}{R},
onde \rho_{s} é constante e r é a distância ao centro. Precisamos (a) calcular a carga total Q e (b) usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico no interior ( r<R).

Passo 2

Para a carga total, integramos a densidade em todo o volume esférico. Em coordenadas esféricas,
dV = 4\pi r^{2}\,dr
e
Q=\int_{0}^{R}\rho(r)\,dV =\int_{0}^{R}\rho_{s}\frac{r}{R}\,4\pi r^{2}\,dr =\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\int_{0}^{R}r^{3}\,dr.
O integral é \int_{0}^{R}r^{3}dr=R^{4}/4, logo
Q=\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\cdot\frac{R^{4}}{4} =\pi\,\rho_{s}\,R^{3}.

Passo 3

Para aplicar Gauss no interior ( r<R), precisamos da carga contida numa esfera de raio genérico r. Fazemos o mesmo tipo de integral até r:
Q_{\text{int}}(r) =\int_{0}^{r}\rho_{s}\frac{r'}{R}\,4\pi r'^{2}\,dr' =\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\int_{0}^{r}r'^{3}dr' =\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\,\frac{r^{4}}{4} =\pi\,\rho_{s}\,\frac{r^{4}}{R}.
Notamos que \pi\rho_{s}R^{3}=Q, então
Q_{\text{int}}(r) =Q\,\frac{r^{4}}{R^{4}}.

Passo 4

Pela Lei de Gauss, para uma superfície esférica de raio r<R:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}}.
Substituindo Q_{\text{int}}(r)=Q\,r^{4}/R^{4}, obtemos
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q\,r^{4}}{R^{4}}\frac{1}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{4}}\,r^{2}.

Resposta

(a) Q=\pi\,\rho_{s}\,R^{3}
(b) Para r<R,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{4}}\,r^{2}.

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