Uma esfera maciça, não-condutora, de raio
, tem uma distribuição de carga não-uniforme de densidade volumétrica dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total da esfera é
e (b) o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dado por
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera maciça não-condutora de raio
com densidade volumétrica de carga não-uniforme
onde
é constante e
é a distância ao centro. Precisamos (a) calcular a carga total
e (b) usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico no interior (
).
Passo 2
Para a carga total, integramos a densidade em todo o volume esférico. Em coordenadas esféricas,
e
O integral é
, logo
Passo 3
Para aplicar Gauss no interior (
), precisamos da carga contida numa esfera de raio genérico
. Fazemos o mesmo tipo de integral até
:
Notamos que
, então
Passo 4
Pela Lei de Gauss, para uma superfície esférica de raio
:
Substituindo
, obtemos
Resposta
(a)
(b) Para ,
(b) Para