Uma esfera maciça de raio R possui densidade de carga dada por rho(r)=k r^4, onde k é uma constante e r é a distância de um ponto dentro da esfera até o seu centro.
(a) (1,5) Calcule o módulo do campo elétrico E(r) para r<R e r>R.
(b) (1,5) Calcule a energia elétrica contida na esfera.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera maciça de raio R com densidade de carga radial
rho(r)=k,r^4.
Parte (a): queremos o campo elétrico E(r) para r<R e para r>R, usando a Lei de Gauss.
Parte (b): queremos a energia elétrica armazenada no campo, dada por
U = varepsilon02integraltodo espaço E^2,dV ç

Passo 2

Calcular a carga total contida em uma esfera de raio r<= R.
Qint(r) = integral0^rrho(r'),4pi r'^2,dr' = 4pi kintegral0^rr'^6,dr' = 4pi k7,r^7
Em particular, a carga total da esfera inteira é
Qtot = Qint(R) = 4pi k7,R^7

Passo 3

Aplicar a Lei de Gauss para r<R. Num cilindro gaussiano esférico de raio r:
oint Ecdot dA = E(r),4pi r^2 = Qint(r)varepsilon0 = 1varepsilon0, 4pi k7,r^7
Logo, para r<R,
E(r) = 14pivarepsilon0, 4pi k7,r^7r^2 = k7varepsilon0,r^5

Passo 4

Para r>R toda a carga Qtot está dentro da superfície gaussiana:
E(r),4pi r^2 = Qtotvarepsilon0 = 1varepsilon0, 4pi k7,R^7,
de onde
E(r) = 14pivarepsilon0, 4pi k7,R^7r^2 = k7varepsilon0, R^7r^2

Passo 5

Calcular a energia elétrica
U = varepsilon02integral0^inftyE^2(r),4pi r^2,dr = varepsilon04pi2 l[ integral0^REin^2r^2dr +integralR^inftyEout^2r^2dr r]
Para 0<= r<= R:
Ein^2 =l(k7varepsilon0,r^5r)^2 = k^249,varepsilon0^2,r^10,
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U1 = 2pivarepsilon0 integral0^R k^249varepsilon0^2,r^10,r^2,dr = 2pi k^249varepsilon0^3 integral0^Rr^12dr = 2pi k^249varepsilon0^3 cdotR^1313
Para r>= R:
Eout^2 =l(k7varepsilon0R^7r^2r)^2 = k^2R^1449,varepsilon0^2,1r^4,
U2 = 2pivarepsilon0 integralR^infty k^2R^1449varepsilon0^2,1r^4,r^2,dr = 2pi k^2R^1449varepsilon0^3 integralR^infty1r^2dr = 2pi k^2R^1449varepsilon0^3cdot1R

Passo 6

Somando U=U1+U2:
U = 2pi k^2R^1349varepsilon0^3 l(113+1r) = 2pi k^2R^1349varepsilon0^3 cdot1413 = 28pi,k^2,R^13637,varepsilon0^3

Resposta

(a)
E(r)= dfrack7varepsilon0,r^5,&r<R,[1em] dfrack7varepsilon0dfracR^7r^2,&r>R
(b)
U = 28pi,k^2,R^13637,varepsilon0^3
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