Uma corrente estacionária i, uniformemente distribuída, passa por um fio de cobre longo de raio R. Considerando o cobre como um meio linear com susceptibilidade chim, faça o que se pede:
(a) (1 , 0 ) Calcule o módulo do campo magnético B dentro (s<R) do fio.
(b) (1,0) Calcule o módulo do campo magnético B fora (s>R) do fio.
(c) (1,5) Mostre que as correntes de magnetização são dadas por KM=-chim i2 pi R z e
JM=chim ipi R^2 z
(d) (0,5) Mostre que a corrente de magnetização total vale zero.

Passo 1

O enunciado descreve uma corrente estacionária de intensidade i distribuída uniformemente num fio cilíndrico de cobre de raio R. O cobre é um meio magnético linear com susceptibilidade chim. Precisamos calcular (a) o módulo do campo B para s<R, (b) o módulo de B para s>R, (c) as densidades de corrente de magnetização KM e JM, e (d) mostrar que a corrente de magnetização total é nula. Vamos usar a lei de Ampère para H, a relação B=mu0(H+M)=mu0murH com mur=1+chim, e as fórmulas de correntes de magnetização KM=Mtimesn e JM=nablatimesM.

Passo 2

Aplicamos a lei de Ampère em termos de H:
ointHcdot dell=Ilivre,,enc
Para um caminho circular de raio s:
  • Se s<R, a corrente livre envolvida é
Ienc=i,pi s^2pi R^2=i,s^2R^2,
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Hphi(s),(2pi s)=i,s^2R^2 Rightarrow Hphi(s)=i,s2pi R^2
  • Se s>R, toda a corrente i está dentro do laço, então
Hphi(s),(2pi s)=i Rightarrow Hphi(s)=i2pi s

Passo 3

Como o meio é linear, B=mu0murH com mur=1+chim. Assim:
  • Para s<R:
Bphi(s)=mu0(1+chim),i,s2pi R^2
  • Para s>R:
Bphi(s)=mu0(1+chim),i2pi s

Passo 4

A magnetização é M=chimH. Dentro do fio ( s<R) temos
Mphi(s)=chim,i,s2pi R^2, M=Mphi,hatphi
Na superfície s=R, o vetor normal externo é hat n=hat s, então a corrente de superfície de magnetização é
KM=Mtimesn =lchim,i,s2pi R^2hatphir|s=Rtimeshat s =-chim,i2pi R,hat z

Passo 5

A corrente volumétrica de magnetização é
JM=nablatimesM Rightarrow JM,z=1sddsl(s,Mphi(s)r) =1sdds!l(chim,i,s^22pi R^2r) =chim,ipi R^2,
portanto
JM=chim,ipi R^2,hat z(para (s<R)), e zero fora

Passo 6

A corrente total de magnetização é a soma da corrente de volume integrada na seção e da corrente de superfície ao longo da circunferência:
IM,vol=JM,z,pi R^2 =chim,ipi R^2;pi R^2 =chim,i,
IM,sup=KM,(2pi R) =-chim,i2pi R;2pi R =-chim,i,
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IM,total=IM,vol+IM,sup=0

Resposta

(a) Para s<R:
Bphi(s)=mu0(1+chim),i,s2pi R^2
(b) Para s>R:
Bphi(s)=mu0(1+chim),i2pi s
(c) As correntes de magnetização são
KM=-chim,i2pi R,hat z, JM=chim,ipi R^2,hat z
(d) A corrente de magnetização total é
IM,total=0

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