Questão 03: Identidade de Parseval
(a) Mostre que, para
.
(b) Usando a identidade de Parseval e o resultado do item (a), mostre que
.
(c) Mostre que
Dica: integre ambos os lados da equação do item (a), escolhendo os limites da integração de forma conveniente.
(d) Demonstre o resultado do item (c) a partir do resultado do item (b).
(b) Usando a identidade de Parseval e o resultado do item (a), mostre que
(c) Mostre que
(d) Demonstre o resultado do item (c) a partir do resultado do item (b).
Passo 1
O enunciado trata de expandir a função
em série de Fourier no intervalo
, usar a identidade de Parseval para calcular
e daí obter
. Vamos precisar da definição dos coeficientes de Fourier (especialmente apenas os
de senos, pois
é ímpar) e da fórmula de Parseval para séries de Fourier.
Passo 2
Para
, como é função ímpar, apenas aparecem senos. O coeficiente
torna-se, por simetria (integrando de 0 a
e dobrando),
Integramos por partes com
,
:
Logo
Assim
Passo 3
Pela identidade de Parseval, para
vale
O lado esquerdo é
E como
, obtemos
Passo 4
Para achar a soma só sobre índices ímpares, integramos term a termo a série de (a) de
a
:
Em
, temos
, então
Mas
é a soma alternada
e a segunda soma vale
. Logo
Agora note que
Substituindo
e
obtém-se
Passo 5
Alternativamente, já tendo
, basta notar que a soma sobre pares é
,
então a soma sobre ímpares é
.
então a soma sobre ímpares é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Subtraindo da soma total a contribuição dos termos pares
, obtemos
.
(b)
(c)
(d) Subtraindo da soma total