Questão 03: Identidade de Parseval

(a) Mostre que, para -pi<x<pi, x2=sumn=1^infty(-1)^n+1 sin n xn.
(b) Usando a identidade de Parseval e o resultado do item (a), mostre que sumn=1^infty 1n^2=pi^26.
(c) Mostre que sumn=1,3,5, ldots^infty 1n^2=pi^28
Dica: integre ambos os lados da equação do item (a), escolhendo os limites da integração de forma conveniente.
(d) Demonstre o resultado do item (c) a partir do resultado do item (b).

Passo 1

O enunciado trata de expandir a função f(x)=x2 em série de Fourier no intervalo -pi<x<pi, usar a identidade de Parseval para calcular sumn=1^infty1n^2 e daí obter sumn,ímpar1n^2í. Vamos precisar da definição dos coeficientes de Fourier (especialmente apenas os bn de senos, pois f é ímpar) e da fórmula de Parseval para séries de Fourier.

Passo 2

Para f(x)=tfrac x2, como é função ímpar, apenas aparecem senos. O coeficiente
bn = 1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
torna-se, por simetria (integrando de 0 a pi e dobrando),
bn=2piintegral0^pix2sin(nx),dx =1piintegral0^pixsin(nx),dx
Integramos por partes com u=x, dv=sin(nx),dx:
integral0^pixsin(nx),dx =l[-xcos(nx)nr]0^pi +integral0^picos(nx)n,dx =-pi(-1)^nn+sin(npi)-sin(0)n^2 =-pi(-1)^nn
Logo
bn=1pil(-pi(-1)^nnr) =(-1)^n+1n
Assim
x2 =sumn=1^inftybnsin(nx) =sumn=1^infty(-1)^n+1sin(nx)n

Passo 3

Pela identidade de Parseval, para
f(x)=x2 =sumn=1^inftybnsin(nx),
vale
1piintegral-pi^pif(x)^2,dx =sumn=1^inftybn^2
O lado esquerdo é
1piintegral-pi^pix^24,dx =1picdot14cdot2integral0^pix^2,dx =14picdot2cdotpi^33 =pi^26
E como bn^2=1/n^2, obtemos
sumn=1^infty1n^2=pi^26

Passo 4

Para achar a soma só sobre índices ímpares, integramos term a termo a série de (a) de a :
Em , temos , então
Mas é a soma alternada e a segunda soma vale . Logo
Agora note que
Substituindo e obtém-se

Passo 5

Alternativamente, já tendo sumn=1^infty1/n^2=pi^2/6, basta notar que a soma sobre pares é
sumk=1^infty1/(2k)^2=(1/4)sum1/k^2=pi^2/24,
então a soma sobre ímpares é
pi^2/6-pi^2/24=pi^2/8.

Resposta

(a) x2=sumn=1^infty(-1)^n+1sin(nx)n
(b) sumn=1^infty1n^2=pi^26
(c) sumn=1,3,5,ldots^infty1n^2=pi^28
(d) Subtraindo da soma total pi^2/6 a contribuição dos termos pares pi^2/24, obtemos pi^2/8.

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