O campo elétrico de um trem de pulsos de laser, isto é, uma sequência de pulsos idênticos com relação de fase bem definida, pode ser escrito aproximadamente, quando a quantidade de pulsos é grande, por
E(t)=E0 summ=1^infty cos m tT,
onde T é o intervalo de tempo entre dois pulsos consecutivos.
(a) Desprezando as frequências negativas, mostre que tildeE(omega)=pi E0 summ=1^infty de<a(omega-mT).
(b) Represente graficamente o espectro de potência do trem de pulsos (ver Questão 02). Essa estrutura é conhecida como pente de frequências ópticas.
Obs: Em 2005, Theodor W. Hänsch e John L. Hall compartilharam metade do Prêmio Nobel pelas contribuições à espectroccopia de precisão com laser, incluindo a técnica do pente de frequências ópticas.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de um trem de pulsos como
E(t)=E0summ=1^inftycos!l(tfracmTtr),
pede (a) a transformada de Fourier tilde E(omega) desprezando frequências negativas e (b) um esboço do espectro de potência.
Conteúdo: usamos que
cos(omega0t)=e^iomega0t+e^-iomega0t2,
e que
integral-infty^inftye^iomega0te^-iomega t,dt=2pi,de<a(omega-omega0)

Passo 2

Escrevemos cada termo cos(tfracmTt) em termos de exponenciais:
cos!l(tfracmTtr) =12,e^imTt +12,e^-imTt
Então
E(t) =E0summ=1^inftye^imTt+e^-imTt2 =E02summ=1^inftye^imTt +E02summ=1^inftye^-imTt

Passo 3

Aplicamos a definição da transformada
tilde E(omega) =integral-infty^inftyE(t),e^-iomega t,dt
Cada termo e^pm imTt gera
integral e^pm imTt,e^-iomega t,dt =2pi,de<a!l(omegamptfracmTr)
Logo
tilde E(omega) =E02summ=1^infty2pi,de<a!l(omega-tfracmTr) +E02summ=1^infty2pi,de<a!l(omega+tfracmTr)
Isto é
tilde E(omega) =pi E0summ=1^inftyl[de<a!l(omega-tfracmTr) +de<a!l(omega+tfracmTr)r]
Desprezando as frequências negativas ( omega<0) sobra
tilde E(omega) =pi E0summ=1^inftyde<a!l(omega-tfracmTr)

Passo 4

O espectro de potência é proporcional a lverttilde E(omega)rvert^2. Como tilde E(omega) é uma soma de deltas em omega=m/T, temos
S(omega)propto(pi E0)^2summ=1^inftyde<a!l(omega-tfracmTr)
Graficamente isso aparece como um “pente de frequências”: em um eixo horizontal omega aparecem linhas verticais igualmente espaçadas em omega=m/T, todas com a mesma altura (proporcional a (pi E0)^2).

Resposta

(a)
tildeE(omega) =pi E0summ=1^inftyde<a!l(omega-tfracmTr)
(b)
O espectro de potência é uma série de picos ( de<a-funções) em omega=m/T, igualmente espaçados, formando o chamado pente de frequências ópticas.

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