Uma esfera maciça de raio R possui uma distribuição de carga não uniforme \rho(r)=C r, onde C é uma constante. Determine a carga total, Q, contida no volume esférico. (b) Determine o módulo do vetor campo elétrico para r>R. (c) Determine o módulo do vetor campo elétrico para r<R.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Dados do enunciado:
    • Uma esfera maciça de raio R.
    • Densidade volumétrica de carga não uniforme \rho(r)=C\,r, onde C é uma constante e r é a distância ao centro.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a carga total Q contida no volume esférico de raio R.
    • (b) Determinar o módulo do campo elétrico para r>R.
    • (c) Determinar o módulo do campo elétrico para r<R.
Observação útil para organizar a solução: a densidade depende apenas de r (simetria esférica), então é natural usar uma casca esférica de espessura dr para integrar.

Passo 2

Por que usar cascas esféricas e qual é o elemento de volume.
  • Em situações com simetria esférica (densidade depende só de r), o volume total pode ser obtido somando cascas esféricas concentricas. Cada casca, de raio r e espessura infinitesimal dr, tem volume
dV = \text{(área da esfera de raio \(r\))}\times dr = 4\pi r^{2}\,dr.á
  • A carga contida nessa casca é
dq = \rho(r)\,dV = C\,r\cdot 4\pi r^{2}\,dr = 4\pi C\, r^{3}\,dr.
Aqui explico as variáveis:
  • r é a coordenada radial (distância ao centro),
  • dr é uma variação infinitesimal de r,
  • dV é o volume da casca esférica,
  • dq é a carga na casca.

Passo 3

Calcular a carga total Q integrando dq de r=0 até r=R.
  • Montamos a integral
Q=\int_{0}^{R} dq=\int_{0}^{R} 4\pi C\, r^{3}\,dr.
  • Calcule a integral passo a passo:
    • A integral de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}.
    • Então
Q=4\pi C\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R}=4\pi C\cdot\frac{R^{4}}{4}=\pi C R^{4}.
Portanto a carga total contida na esfera é Q=\pi C R^{4}.

Passo 4

Introdução ao uso da Lei de Gauss para obter o campo elétrico — ideia e fórmula.
  • A Lei de Gauss diferencial/integral em forma integral é
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o vetor área (magnitude área elementar, direção normal saindo da superfície),
  • Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada \mathcal{S},
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Para simetria esférica e uma superfície gaussiana esférica de raio r:
    • \mathbf{E} tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície;
    • o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,dA;
    • o fluxo total é E(r)\times área da esfera =E(r)\,4\pi r^{2}.
  • Assim, a Lei de Gauss reduz-se a
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga contida dentro do raio r. A partir daí isolamos E(r):
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.

Passo 5

Campo elétrico para r>R (fora da esfera): usar Q_{\text{int}}=Q (toda a carga).
  • Para r>R a superfície gaussiana envolve toda a esfera, então Q_{\text{int}}(r)=Q, que calculamos no Passo 3:
Q=\pi C R^{4}.
  • Substituindo em
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}},
temos
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\pi C R^{4}}{r^{2}}.
  • Simplificando \dfrac{\pi}{4\pi}=\dfrac{1}{4}, obtemos
E(r)=\frac{C R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}},\qquad r>R.
Isto é o módulo do vetor campo elétrico fora da esfera. A direção é radial (para fora se C>0).

Passo 6

Campo elétrico para r<R (dentro da esfera): calcular a carga encerrada até o raio r e aplicar Gauss.
  • A carga encerrada até um raio genérico r<R é obtida integrando como no Passo 3, mas com limite superior r:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi C\, r'^{3}\,dr' =4\pi C\left[\frac{r'^{4}}{4}\right]_{0}^{r}=\pi C r^{4}.
(Usei uma variável de integração r' para não confundir com o raio da superfície gaussiana r.)
  • Aplicando Gauss:
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\pi C r^{4}}{r^{2}}.
  • Simplificando:
E(r)=\frac{C r^{2}}{4\varepsilon_{0}},\qquad r<R.
Portanto dentro da esfera o campo cresce com r^{2} (proporcional a r^{2}). A direção é radial (para fora se C>0).

Passo 7

Checagem rápida de comportamento e interpretação física (motivação para memorizar o resultado).
  • Comportamento:
    • Em r=0 vemos E(0)=0 (esperado por simetria).
    • Em r\to R^{-} o campo é E(R^{-})=\dfrac{C R^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
    • Em r=R^{+} o campo é E(R^{+})=\dfrac{C R^{4}}{4\varepsilon_{0} R^{2}}=\dfrac{C R^{2}}{4\varepsilon_{0}}. Ou seja, o campo é contínuo na superfície (sem camada superficial de carga).
  • Dica prática para prova: com densidade \rho(r) proporcional a r^{n}, a carga acumulada até r geralmente escala como r^{n+3} (porque dV\sim r^{2}dr), e o campo via Gauss traz essa dependência dividida por r^{2}.

Resposta

Q=\pi C R^{4}
E(r)=\dfrac{C R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}},\quad r>R
E(r)=\dfrac{C r^{2}}{4\varepsilon_{0}},\quad r<R

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