Uma esfera maciça de raio
possui uma distribuição de carga não uniforme
, onde
é uma constante. Determine a carga total,
, contida no volume esférico. (b) Determine o módulo do vetor campo elétrico para
. (c) Determine o módulo do vetor campo elétrico para
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Dados do enunciado:
- Uma esfera maciça de raio
. - Densidade volumétrica de carga não uniforme
, onde é uma constante e é a distância ao centro.
- Uma esfera maciça de raio
- Perguntas:
- (a) Determinar a carga total
contida no volume esférico de raio . - (b) Determinar o módulo do campo elétrico para
. - (c) Determinar o módulo do campo elétrico para
.
- (a) Determinar a carga total
Observação útil para organizar a solução: a densidade depende apenas de
(simetria esférica), então é natural usar uma casca esférica de espessura
para integrar.
Passo 2
Por que usar cascas esféricas e qual é o elemento de volume.
- Em situações com simetria esférica (densidade depende só de
), o volume total pode ser obtido somando cascas esféricas concentricas. Cada casca, de raio e espessura infinitesimal , tem volume
- A carga contida nessa casca é
Aqui explico as variáveis:
-
é a coordenada radial (distância ao centro), -
é uma variação infinitesimal de , -
é o volume da casca esférica, -
é a carga na casca.
Passo 3
Calcular a carga total
integrando
de
até
.
- Montamos a integral
- Calcule a integral passo a passo:
- A integral de
é . - Então
- A integral de
Portanto a carga total contida na esfera é
.
Passo 4
Introdução ao uso da Lei de Gauss para obter o campo elétrico — ideia e fórmula.
- A Lei de Gauss diferencial/integral em forma integral é
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o vetor área (magnitude área elementar, direção normal saindo da superfície), -
é a carga total dentro da superfície fechada , -
é a permissividade do vácuo. - Para simetria esférica e uma superfície gaussiana esférica de raio
: -
tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície; - o produto escalar
; - o fluxo total é
área da esfera .
-
- Assim, a Lei de Gauss reduz-se a
onde
é a carga contida dentro do raio
. A partir daí isolamos
:
Passo 5
Campo elétrico para
(fora da esfera): usar
(toda a carga).
- Para
a superfície gaussiana envolve toda a esfera, então , que calculamos no Passo 3:
- Substituindo em
temos
- Simplificando
, obtemos
Isto é o módulo do vetor campo elétrico fora da esfera. A direção é radial (para fora se
).
Passo 6
Campo elétrico para
(dentro da esfera): calcular a carga encerrada até o raio
e aplicar Gauss.
- A carga encerrada até um raio genérico
é obtida integrando como no Passo 3, mas com limite superior :
(Usei uma variável de integração
para não confundir com o raio da superfície gaussiana
.)
- Aplicando Gauss:
- Simplificando:
Portanto dentro da esfera o campo cresce com
(proporcional a
). A direção é radial (para fora se
).
Passo 7
Checagem rápida de comportamento e interpretação física (motivação para memorizar o resultado).
- Comportamento:
- Em
vemos (esperado por simetria). - Em
o campo é . - Em
o campo é . Ou seja, o campo é contínuo na superfície (sem camada superficial de carga).
- Em
- Dica prática para prova: com densidade
proporcional a , a carga acumulada até geralmente escala como (porque ), e o campo via Gauss traz essa dependência dividida por .