Exercício(20) Calcule o volume dos sólidos dados.
S=\left\{(x, y, z): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq 2 e^{x+y}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido S definido pelas desigualdades:
  • 0 \leq x \leq 1,
  • 0 \leq y \leq 1,
  • 1 \leq z \leq 2e^{x+y}.
A pergunta explícita é: qual é o volume do conjunto S?

Passo 2

Ideia útil (o que é volume em cálculo multivariável).
  • O volume de uma região S no espaço pode ser calculado pela integral tripla
V=\iiint_{S} 1\,dV,
onde dV é o elemento de volume (por exemplo dV=dz\,dy\,dx). Aqui a função que integrarmos é 1 porque queremos medir volume, não uma massa com densidade variável.
  • Quando a região S é dada por limites simples em x,y,z como aqui, podemos usar integração iterada (teorema de Fubini) e escrever a integral tripla numa ordem conveniente, por exemplo dz\,dy\,dx.

Passo 3

Montando a integral iterada com a ordem dz\,dy\,dx, usando diretamente os limites fornecidos pelo enunciado:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=1}^{2e^{x+y}} 1\;dz\,dy\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • x varia de 0 a 1,
  • para cada x, y varia de 0 a 1,
  • para cada par (x,y), z varia de 1 até 2e^{x+y}.

Passo 4

Calcular a integral mais interna em z. A primitiva de 1 em z é z, logo
\int_{1}^{2e^{x+y}} 1\;dz = \bigl[z\bigr]_{z=1}^{z=2e^{x+y}} = 2e^{x+y}-1.
Substituindo na integral dupla restante:
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bigl(2e^{x+y}-1\bigr)\;dy\,dx.

Passo 5

Separar a integral em duas partes:
V=2\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\;dy\,dx \;-\; \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\;dy\,dx.
Explicando cada termo:
  • No primeiro termo use que e^{x+y}=e^{x}e^{y}. Como os limites de integração em x e y são independentes (retângulo unitário), a integral se separa:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\;dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} e^{x}\;dx\right)\left(\int_{0}^{1} e^{y}\;dy\right).
Calcule cada uma:
\int_{0}^{1} e^{t}\;dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} = e-1.
Portanto
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\;dy\,dx = (e-1)(e-1) = (e-1)^{2}.
Multiplicando pelo 2 do termo inicial dá 2(e-1)^{2}.
  • No segundo termo, a integral de 1 sobre o retângulo unitário é simplesmente a área do retângulo:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\;dy\,dx = 1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Juntando os resultados:
V = 2(e-1)^{2} - 1.
Fazendo uma checagem numérica rápida só para ver se faz sentido: e\approx 2{,}71828 então e-1\approx 1{,}71828, (e-1)^{2}\approx 2{,}95249, 2(e-1)^{2}\approx 5{,}90498 e V\approx 4{,}90498. Resultado positivo e razoável para o sólido dado.

Resposta

V=2(e-1)^{2}-1

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