Exercício(20) Calcule o volume dos sólidos dados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido
definido pelas desigualdades:
-
, -
, -
.
A pergunta explícita é: qual é o volume do conjunto
?
Passo 2
Ideia útil (o que é volume em cálculo multivariável).
- O volume de uma região
no espaço pode ser calculado pela integral tripla
onde
é o elemento de volume (por exemplo
). Aqui a função que integrarmos é
porque queremos medir volume, não uma massa com densidade variável.
- Quando a região
é dada por limites simples em como aqui, podemos usar integração iterada (teorema de Fubini) e escrever a integral tripla numa ordem conveniente, por exemplo .
Passo 3
Montando a integral iterada com a ordem
, usando diretamente os limites fornecidos pelo enunciado:
Aqui cada símbolo significa:
-
varia de a , - para cada
, varia de a , - para cada par
, varia de até .
Passo 4
Calcular a integral mais interna em
. A primitiva de
em
é
, logo
Substituindo na integral dupla restante:
Passo 5
Separar a integral em duas partes:
Explicando cada termo:
- No primeiro termo use que
. Como os limites de integração em e são independentes (retângulo unitário), a integral se separa:
Calcule cada uma:
Portanto
Multiplicando pelo
do termo inicial dá
.
- No segundo termo, a integral de
sobre o retângulo unitário é simplesmente a área do retângulo:
Passo 6
Juntando os resultados:
Fazendo uma checagem numérica rápida só para ver se faz sentido:
então
,
,
e
. Resultado positivo e razoável para o sólido dado.