Uma esfera maciça de raio
tem uma carga
distribuída uniformemente pelo seu volume. Distante
do centro dessa esfera há um buraco de raio
. Calcule o campo elétrico ao longo da linha que une o centro da esfera e o centro do buraco.
Passo 1
Beleza, manda ver: temos uma esfera maciça de raio
com carga total
distribuída uniformemente pelo volume. A uma distância
do centro dessa esfera foi feito um “buraquinho” esférico de raio
. Precisamos achar o campo elétrico ao longo da reta que conecta o centro da esfera grande ao centro do buraco.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss) e princípio da superposição. Vamos usar Gauss pra achar o campo de uma esfera carregada e depois subtrair o campo da parte removida (o buraquinho), tratando-o como uma esfera de carga negativa.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss) e princípio da superposição. Vamos usar Gauss pra achar o campo de uma esfera carregada e depois subtrair o campo da parte removida (o buraquinho), tratando-o como uma esfera de carga negativa.
Passo 2
Primeiro, determinação da densidade volumétrica de carga
.
Como a carga está uniformemente espalhada num volume
, temos
Como a carga
O “buraquinho” equivale a remover uma carga
Passo 3
Campo de uma esfera uniformemente carregada (positiva) no eixo: escolho o eixo
com origem no centro da esfera grande. A Lei de Gauss diz que, para um ponto
(distância do centro):
- Se
(dentro da esfera), - Se
(fora da esfera),
Isso é Gauss puro: dentro depende de
, fora cai como
.
Passo 4
Agora o campo devido à carga removida (o buraco) é igual ao campo de uma esfera de carga
centrada em
. Troca
e
nas fórmulas:
- Se
, - Se
,
Passo 5
Pelo princípio da superposição, o campo total é
Logo temos regimes:
- Dentro do buraco (
e ): - Entre borda do buraco e borda da esfera grande (
): - Fora da esfera grande (
):
Resposta
Portanto, ao longo da linha que liga os centros, o campo é dado por:
Para
(dentro do buraco) e
:
Nos demais pontos, usar a soma