Uma esfera maciça de raio R tem uma carga Q distribuída uniformemente pelo seu volume. Distante d do centro dessa esfera há um buraco de raio r. Calcule o campo elétrico ao longo da linha que une o centro da esfera e o centro do buraco.

Passo 1

Beleza, manda ver: temos uma esfera maciça de raio com carga total distribuída uniformemente pelo volume. A uma distância do centro dessa esfera foi feito um “buraquinho” esférico de raio . Precisamos achar o campo elétrico ao longo da reta que conecta o centro da esfera grande ao centro do buraco.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss) e princípio da superposição. Vamos usar Gauss pra achar o campo de uma esfera carregada e depois subtrair o campo da parte removida (o buraquinho), tratando-o como uma esfera de carga negativa.

Passo 2

Primeiro, determinação da densidade volumétrica de carga rho = Qtfrac43pi R^3, .
Como a carga Qburaco = rho ,43pi r^3 =Qtfrac43pi R^3;43pi r^3 =Q,r^3R^3, está uniformemente espalhada num volume , temos
O “buraquinho” equivale a remover uma carga

Passo 3

Campo de uma esfera uniformemente carregada (positiva) no eixo: escolho o eixo Egrande(x) =14pivarepsilon0,rho,(4/3)pi x^3x^2 =rho3varepsilon0,x (direção +(x) se (x>0)) com origem no centro da esfera grande. A Lei de Gauss diz que, para um ponto Egrande(x) =14pivarepsilon0,Qx^2 (distância do centro):
  • Se (dentro da esfera), çã
  • Se (fora da esfera),
Isso é Gauss puro: dentro depende de , fora cai como .

Passo 4

Agora o campo devido à carga removida (o buraco) é igual ao campo de uma esfera de carga Eburaco(x) =-rho3varepsilon0,(x-d) centrada em Eburaco(x) =-14pivarepsilon0,Qburaco(x-d)^2 . Troca e nas fórmulas:
  • Se ,
  • Se ,

Passo 5

Pelo princípio da superposição, o campo total é
E(x)=Egrande(x)+Eburaco(x)
Logo temos regimes:
  1. Dentro do buraco ( E(x) =rho3varepsilon0,x;-;rho3varepsilon0(,x-d) =rho3varepsilon0,d (constante!) e E(x) =rho3varepsilon0,x ;-;14pivarepsilon0,Q,r^3/R^3(x-d)^2 ): E(x) =14pivarepsilon0,Qx^2 ;-;14pivarepsilon0,Q,r^3/R^3(x-d)^2
  2. Entre borda do buraco e borda da esfera grande ( ):
  3. Fora da esfera grande ( ):

Resposta

Portanto, ao longo da linha que liga os centros, o campo é dado por:
Para boxedE(x)=rho3varepsilon0,d =Q4pivarepsilon0,R^3,d (constante e apontando do centro grande pro buraco) (dentro do buraco) e E(x)= dfracrho3varepsilon0,x -dfracQ,r^34pivarepsilon0,R^3,(x-d)^2, & lvert xrvert= r,[6pt] dfracQ4pivarepsilon0,x^2 -dfracQ,r^34pivarepsilon0,R^3,(x-d)^2, & lvert xrvert>= R :
Nos demais pontos, usar a soma

Exercícios relacionados