Uma esfera maciça de raio R está uniformemente carregada com rho= alpha / r, sendo alpha constante. Qual é o campo elétrico em todo o espaço?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma esfera maciça de raio ointS Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0 com densidade de carga volumétrica . Queremos achar o campo elétrico em todo o espaço (dentro e fora da esfera).”
Conteúdo: Eletrostática – Lei de Gauss e simetria esférica.
O que vamos precisar:
  • Entender que, por simetria, é radial e depende só de .
  • Calcular a carga contida em uma esfera de raio usando .
  • Aplicar a Lei de Gauss:

Passo 2

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio Phi = E(r),l(4pi r^2r) . Por simetria, aponta na direção radial e tem módulo . Então o fluxo é

Passo 3

Vamos calcular a carga interna Qrm int(r) ;=;integralVrrho(r'),dV =integral0^ralphar';4pi r'^2,dr' =4pialphaintegral0^rr',dr' =4pialpha;r^22 =2pialpha,r^2 contida na região de raio :

Passo 4

Aplico a Lei de Gauss para E(r),(4pi r^2) ;=;Qrm int(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=2pialpha,r^24pivarepsilon0,r^2 =alpha2varepsilon0 :
Ou seja, dentro da esfera o campo é constante e igual a .

Passo 5

Para Qrm tot=Qrm int(R)=2pialpha,R^2 a carga total da esfera é
E(r),(4pi r^2)=Qrm totvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=2pialpha,R^24pivarepsilon0,r^2 =alpha,R^22varepsilon0,r^2
Então, de novo pela Gauss, para :

Resposta

O campo elétrico é radial ( boxed E(r)= alpha2varepsilon0,hat r;, & r < R, alpha,R^22varepsilon0,r^2,hat r;, & r>R ) e vale

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