Uma casca esférica de raio
tem uma distribuição superficial
de carga. Há um buraco nessa casca mas bem pequeno. Determine o campo no centro desse buraquinho. Dica: considere uma casca sem buraco e um disquinho carregado com
. Resp.:
. O valor que você encontrou vale numa vizinhança infinitezimal do centro pelo lado de fora ou pelo lado de dentro do buraquinho?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma casca esférica de raio
carregada com densidade de superfície
, mas nela há um furinho muito pequeno. Queremos achar o campo elétrico exatamente no centro desse furinho. O enunciado dá uma dica ótima de usar o princípio da superposição: pensar na casca inteira sem o buraco e “subtrair” um disquinho de carga
.
Conteúdo que vamos precisar:
Conteúdo que vamos precisar:
- Princípio da superposição de campos
- Campo de uma casca esférica carregada (dentro e fora)
- Campo no eixo de um disco uniformemente carregado
Passo 2
Campo da casca esférica cheia
- Dentro da casca (
): por simetria, o campo é zero, ou seja
- Fora da casca (
): ela se comporta como se a carga total estivesse concentrada no centro, então no ponto que fica bem colado à superfície ( )
direção sempre perpendicular à superfície, para fora.
Passo 3
Campo do disquinho de carga
Agora consideramos um disco de raio (muito pequeno mas bem maior que o “ponto” onde medimos) com densidade
. O campo sobre o eixo, a uma distância
do disco, vale
Agora consideramos um disco de raio
e aponta pra fora do disco se
. Como aqui
é negativo, o campo aponta em direção ao disco. No nosso caso queremos bem na “boca” do disco, ou seja
, então
em módulo, mas sem esquecer que, por
, o vetor aponta em direção ao disco.
Passo 4
Superpondo os dois resultados
-
Lado de fora do buraco:
- Casca cheia dá
para fora - Disco “-σ” dá
para dentro
→ soma vetorial:
apontando para fora. - Casca cheia dá
-
Lado de dentro do buraco (no interior da casca):
- Casca cheia dá
- Disco dá de novo
em módulo, apontando em direção ao disco (isto é, para dentro do buraco)
→
só que agora com direção para dentro. - Casca cheia dá
Resposta
O módulo do campo no centro do furinho é
Esse valor vale tanto infinitesimalmente do lado de fora (campo para fora) quanto do lado de dentro (campo para dentro) do buraquinho.