Uma casca esférica de raio R tem uma distribuição superficial sigma de carga. Há um buraco nessa casca mas bem pequeno. Determine o campo no centro desse buraquinho. Dica: considere uma casca sem buraco e um disquinho carregado com -sigma. Resp.: E=sigma / 2 epsilon0. O valor que você encontrou vale numa vizinhança infinitezimal do centro pelo lado de fora ou pelo lado de dentro do buraquinho?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma casca esférica de raio carregada com densidade de superfície , mas nela há um furinho muito pequeno. Queremos achar o campo elétrico exatamente no centro desse furinho. O enunciado dá uma dica ótima de usar o princípio da superposição: pensar na casca inteira sem o buraco e “subtrair” um disquinho de carga .
Conteúdo que vamos precisar:
  • Princípio da superposição de campos
  • Campo de uma casca esférica carregada (dentro e fora)
  • Campo no eixo de um disco uniformemente carregado

Passo 2

Campo da casca esférica cheia
  1. Dentro da casca ( Erm casca^rm dentro=0 ): por simetria, o campo é zero, ou seja
Erm casca^rm fora =14piepsilon0,QR^2 =14piepsilon0,sigma,4pi R^2R^2 =sigmaepsilon0,
  1. Fora da casca ( ): ela se comporta como se a carga total estivesse concentrada no centro, então no ponto que fica bem colado à superfície ( )
direção sempre perpendicular à superfície, para fora.

Passo 3

Campo do disquinho de carga E(z) =sigma2epsilon0,l(1 - zraizz^2+a^2r)
Agora consideramos um disco de raio Erm disco(0) =|sigma|2epsilon0 =sigma2epsilon0 (muito pequeno mas bem maior que o “ponto” onde medimos) com densidade . O campo sobre o eixo, a uma distância do disco, vale
e aponta pra fora do disco se . Como aqui é negativo, o campo aponta em direção ao disco. No nosso caso queremos bem na “boca” do disco, ou seja , então
em módulo, mas sem esquecer que, por , o vetor aponta em direção ao disco.

Passo 4

Superpondo os dois resultados
  • Lado de fora do buraco:
    • Casca cheia dá Erm total^rm fora =sigmaepsilon0 -sigma2epsilon0 =sigma2epsilon0, para fora
    • Disco “-σ” dá Erm total^rm dentro =sigma2epsilon0, para dentro
      → soma vetorial:
    apontando para fora.
  • Lado de dentro do buraco (no interior da casca):
    • Casca cheia dá
    • Disco dá de novo em módulo, apontando em direção ao disco (isto é, para dentro do buraco)
    só que agora com direção para dentro.

Resposta

O módulo do campo no centro do furinho é
boxedE=sigma2epsilon0
Esse valor vale tanto infinitesimalmente do lado de fora (campo para fora) quanto do lado de dentro (campo para dentro) do buraquinho.

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