Seja Pa, b(t) a probabilidade de encontrarmos uma partícula na região a em um tempo t.
Mostre que
d Pa, bd t=J(a, t)-J(b, t)
onde
J(x, t)=i hbar2 m(Psi partial Psi^*partial x-Psi^* partial Psipartial x)
onde J(x, t) é conhecido como a corrente de probabilidade.

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar que, se
Pa,b(t)=integrala^b|Psi(x,t)|^2,dx
é a probabilidade de achar a partícula entre dPa,bdt=J(a,t)-J(b,t), e J(x,t)=ihbar2ml(Psi,partialxPsi^*-Psi^*,partialxPsir) num dado tempo , então

onde

é a corrente de probabilidade.
Conteúdo: equação da continuidade em Mecânica Quântica. Vamos precisar da equação de Schrödinger (e sua conjugada), produto de funções e integração por partes.

Passo 2

Começamos derivando dPa,bdt =ddtintegrala^bPsi^*,Psi,dx =integrala^bpartialpartial tl(Psi^*Psir),dx em relação a :
Aqui usei que os limites e são fixos, então posso puxar a derivada pra dentro da integral.

Passo 3

Agora aplico a regra do produto em partialpartial t(Psi^*Psi) =Psi^*,partialPsipartial t +Psi,partialPsi^*partial t :
ihbar,partialPsipartial t =-hbar^22m,partialx^2Psi + VPsi,
Precisamos das derivadas temporais de -,ihbar,partialPsi^*partial t =-hbar^22m,partialx^2Psi^* + VPsi^* e , que vêm da equação de Schrödinger:

Passo 4

Substituindo essas duas na expressão de Psi^*,partialPsipartial t =1ihbarl(-tfrachbar^22mPsi^*,partialx^2Psi + VPsi^*Psir), ,
Psi,partialPsi^*partial t =-1ihbarl(-tfrachbar^22mPsi,partialx^2Psi^* + VPsi,Psi^*r)
partialpartial t(Psi^*Psi) =-hbar^22mihbarl(Psi^*,partialx^2Psi-Psi,partialx^2Psi^*r) =ihbar2m,partialxl(Psi,partialxPsi^* - Psi^*,partialxPsir)
Somando, os termos com se cancelam, sobrando só os de derivadas espaciais:
Note que nesse passo usei integração por partes (ou simplesmente a regra de derivada de um produto no espaço) para reescrever a diferença de segundas derivadas como uma derivada total em .

Passo 5

Agora voltamos à nossa integral:
dPa,bdt =integrala^bihbar2m,partialxl(Psi,partialxPsi^*-Psi^*,partialxPsir),dx
Mas dPa,bdt =integrala^bpartialx J(x,t),dx é exatamente integrala^bpartialx J,dx = J(b,t)-J(a,t) . Então
E aí é a parte clássica de cálculo:
Como queremos , passamos o sinal e obtemos:

Resposta

dPa,bdt = J(a,t) - J(b,t)

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