Seja
a probabilidade de encontrarmos uma partícula na região
em um tempo
.
Mostre que
onde
onde
é conhecido como a corrente de probabilidade.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para a gente mostrar que, se
é a probabilidade de achar a partícula entre
onde
é a corrente de probabilidade.
Conteúdo: equação da continuidade em Mecânica Quântica. Vamos precisar da equação de Schrödinger (e sua conjugada), produto de funções e integração por partes.
Passo 2
Começamos derivando
em relação a
:
Aqui usei que os limites
e
são fixos, então posso puxar a derivada pra dentro da integral.
Passo 3
Agora aplico a regra do produto em
:
Precisamos das derivadas temporais de
e
, que vêm da equação de Schrödinger:
Passo 4
Substituindo essas duas na expressão de
,
Somando, os termos com
se cancelam, sobrando só os de derivadas espaciais:
Note que nesse passo usei integração por partes (ou simplesmente a regra de derivada de um produto no espaço) para reescrever a diferença de segundas derivadas como uma derivada total em
.
Passo 5
Agora voltamos à nossa integral:
Mas
é exatamente
. Então
E aí é a parte clássica de cálculo:
Como queremos
, passamos o sinal e obtemos: