Uma esfera maciça de raio R tem uma distribuição de carga positiva uniforme com densidade rho e carga total Q.
Determine o potencial eletrostático em pontos externos e internos à esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial eletrostático em uma esfera carregada. A gente vai usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a definição de potencial elétrico. Precisamos calcular o potencial tanto dentro quanto fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar o potencial elétrico, a gente precisa conhecer o campo elétrico. E para isso, vamos usar a lei de Gauss, que ajuda a determinar o campo elétrico de uma distribuição de carga simétrica, como essa esfera.

Passo 3

Vamos começar calculando o campo elétrico fora da esfera. Usando a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r > R, onde R é o raio da esfera:
Eexterno(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2
Aqui, Q é a carga total da esfera.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para r < R. A densidade de carga é uniforme, então a carga interna dentro de um raio r é proporcional ao volume:
Qinterno = Q cdot (r^3R^3)
Aplicando a lei de Gauss:
Einterno(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qinternor^2 = 14pivarepsilon0 cdot Q rR^3

Passo 5

Com o campo elétrico conhecido, vamos integrar para achar o potencial elétrico. O potencial em um ponto é a energia necessária para trazer uma carga de referência de infinito até esse ponto.

Passo 6

Para pontos externos (r > R), integramos o campo elétrico:
Vexterno(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr

Passo 7

Para pontos internos (r < R), além da integração do campo interno, precisamos garantir a continuidade do potencial na superfície (r = R):
Vinterno(r) = 14pivarepsilon0 cdot Q2R^3 (3R^2 - r^2)

Resposta

O potencial eletrostático na esfera é dado por:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Q2R^3 (3R^2 - r^2) & para r <= R 14pivarepsilon0 cdot Qr & para r > R

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