Uma esfera maciça de raio
tem uma distribuição de carga positiva uniforme com densidade
e carga total
.
Determine o potencial eletrostático em pontos externos e internos à esfera.
Determine o potencial eletrostático em pontos externos e internos à esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial eletrostático em uma esfera carregada. A gente vai usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a definição de potencial elétrico. Precisamos calcular o potencial tanto dentro quanto fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar o potencial elétrico, a gente precisa conhecer o campo elétrico. E para isso, vamos usar a lei de Gauss, que ajuda a determinar o campo elétrico de uma distribuição de carga simétrica, como essa esfera.
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico fora da esfera. Usando a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r > R, onde R é o raio da esfera:
Aqui, Q é a carga total da esfera.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para r < R. A densidade de carga é uniforme, então a carga interna dentro de um raio r é proporcional ao volume:
Aplicando a lei de Gauss:
Passo 5
Com o campo elétrico conhecido, vamos integrar para achar o potencial elétrico. O potencial em um ponto é a energia necessária para trazer uma carga de referência de infinito até esse ponto.
Passo 6
Para pontos externos (r > R), integramos o campo elétrico:
Passo 7
Para pontos internos (r < R), além da integração do campo interno, precisamos garantir a continuidade do potencial na superfície (r = R):
Resposta
O potencial eletrostático na esfera é dado por: