Um vagão de comprimento
e massa
(quando vazio) move-se livremente sobre um trilho horizontal enquanto está sendo carregado com areia, a uma taxa
. Sabendose que o vagão iniciou o carregamento com velocidade
, calcule:
(a) A variação da posição da frente do vagão em função do tempo
, enquanto durar o carregamento [considere a posição da frente do vagão no início do carregamento igual a zero, ou seja
.
(b) O comprimento
para que o vagão deixe o local de carga com uma velocidade igual à metade da velocidade inicial, ou seja,
, onde
é o tempo de duração do carregamento.
(a) A variação da posição da frente do vagão em função do tempo
(b) O comprimento
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado manda? Temos um vagão de massa inicial
e comprimento
correndo numa linha reta com velocidade inicial
. Enquanto ele passa por um ponto de carga, areia entra no vagão à taxa constante
.
Conteúdo: dinâmica de sistemas de massa variável. Vamos usar conservação de quantidade de movimento (momentum) porque não há forças externas horizontais. A partir daí achamos e depois integramos pra achar
. Para a parte (b), vemos em que tempo
a velocidade cai pra
e calculamos o deslocamento nessa hora (que é o comprimento do trecho de carga, i.e.\
).
Conteúdo: dinâmica de sistemas de massa variável. Vamos usar conservação de quantidade de movimento (momentum) porque não há forças externas horizontais. A partir daí achamos
Passo 2
Teoria de massa variável: se não há força externa horizontal, a quantidade de movimento
é constante. No instante inicial
e
, então
Mas
. Logo
Passo 3
Agora precisamos de
. Como
, escrevemos
Integramos de
a
, lembrando que
:
Passo 4
Para (b), queremos o tempo
em que a velocidade fica
. Da fórmula de
:
Passo 5
O comprimento do trecho de carga (que chamamos de
) é justamente o deslocamento
. Substituindo
em
:
Resposta
(a)
(b)
(b)