Um vagão de comprimento L e massa m0 (quando vazio) move-se livremente sobre um trilho horizontal enquanto está sendo carregado com areia, a uma taxa q=d m / d t. Sabendose que o vagão iniciou o carregamento com velocidade v0, calcule:
(a) A variação da posição da frente do vagão em função do tempo [x(t)], enquanto durar o carregamento [considere a posição da frente do vagão no início do carregamento igual a zero, ou seja x(0)=0].
(b) O comprimento L para que o vagão deixe o local de carga com uma velocidade igual à metade da velocidade inicial, ou seja, tf, onde é o tempo de duração do carregamento.

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado manda? Temos um vagão de massa inicial e comprimento correndo numa linha reta com velocidade inicial . Enquanto ele passa por um ponto de carga, areia entra no vagão à taxa constante .
Conteúdo: dinâmica de sistemas de massa variável. Vamos usar conservação de quantidade de movimento (momentum) porque não há forças externas horizontais. A partir daí achamos e depois integramos pra achar . Para a parte (b), vemos em que tempo a velocidade cai pra e calculamos o deslocamento nessa hora (que é o comprimento do trecho de carga, i.e.\ ).

Passo 2

Teoria de massa variável: se não há força externa horizontal, a quantidade de movimento m(t),v(t) = m0,v0 é constante. No instante inicial v(t) ;=;m0,v0m0 + q,t e , então
Mas . Logo

Passo 3

Agora precisamos de dxdt=m0,v0m0+q,t . Como x(t) =integral0^t m0,v0m0+q,t',dt' =m0,v0q,ln!l(1+q,tm0r) , escrevemos
Integramos de a , lembrando que :

Passo 4

Para (b), queremos o tempo m0,v0m0+q,tf=v02 ;Rightarrow; m0+q,tf=2,m0 ;Rightarrow; tf=m0q em que a velocidade fica . Da fórmula de :

Passo 5

O comprimento do trecho de carga (que chamamos de L = x(tf) =m0,v0q,ln!l(1+qm0cdotm0qr) =m0,v0q,ln 2 ) é justamente o deslocamento . Substituindo em :

Resposta

(a)
(b)

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