Um navio de massa m0 move-se com velocidade v0=v0 x quando começa a bombear para fora uma massa de água que inunda seus porões. A massa de água que encontra-se incialmente nos porões é igual a um quarto da massa inicial total q. A água é espelida a uma taxa constante u=-u x e com velocidade relativa ao navio u (onde Fe x t=-(u q / 2) x é uma constante positiva). Sabendo-se que existe uma força de resistência contrária ao movimento do navio , calcule:
(a) O tempo necessário para que toda a água seja colocada para fora dos porões.
(b) A velocidade do navio após toda a água ter sido removida.

Passo 1

Beleza, vamos repetir o que o exercício pede de um jeito simples. A gente tem um navio+água de massa total inicial que navega com velocidade . Nos porões tem uma água de massa . O navio vai jorrar essa água pra trás a uma taxa de massa constante e com velocidade relativa ao navio . Ainda tem uma força de arrasto externa .
Conteúdo envolvido:
• Sistema de massa variável (“equação do foguete”).
• Força externa constante.
• Integração de uma equação diferencial para achar a velocidade.
O que vamos precisar:
  1. tempo até a massa de água de ser expelida (bastante direto: massa/fluxo).
  2. equação diferencial , usar e integrar de a .

Passo 2

A parte (a) é o tempo que leva pra expulsar a água de massa dmdt = -q a uma taxa t = De.
Como
a massa de água some em

Passo 3

Agora a (b): velocidade final. A gente usa a equação do foguete com força externa:
m,dvdt ;=; -u,dmdt ;+; Frm ext,
Explicando cada termo informalmente:
m,dvdt = -u,(-q) - u,q2 = u,q - u,q2 = u,q2, é o impulso dado pelo jato de água pra trás (se , isso empurra pra frente).
é o arrasto sempre contrário ao movimento.
Como , temos

Passo 4

A equação virou
m,dvdt = u,q2 Longrightarrow dvdt = u,q2,m,
Mas dm = dmdt,dt = -q,dt Longrightarrow dt = -dmq, . Em vez de integrar em dv = u,q2,m,dt = u,q2,m,l(-dmqr) = -u2,dmm, , é mais fácil trocar de variável usando
integralv0^vf dv = -u2integralm0^3m0/4dmm ;Longrightarrow; vf - v0 = -u2l[ln mr]m0^3m0/4 = -u2ln!l(3m0/4m0r)
Então
Integramos de a enquanto vai de a :
Como , isso dá aumento de velocidade.

Resposta

(a)
(b)

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