Um navio de massa
move-se com velocidade
quando começa a bombear para fora uma massa de água que inunda seus porões. A massa de água que encontra-se incialmente nos porões é igual a um quarto da massa inicial total
. A água é espelida a uma taxa constante
e com velocidade relativa ao navio
(onde
é uma constante positiva). Sabendo-se que existe uma força de resistência contrária ao movimento do navio
, calcule:
(a) O tempo necessário para que toda a água seja colocada para fora dos porões.
(b) A velocidade do navio após toda a água ter sido removida.
(a) O tempo necessário para que toda a água seja colocada para fora dos porões.
(b) A velocidade do navio após toda a água ter sido removida.
Passo 1
Beleza, vamos repetir o que o exercício pede de um jeito simples. A gente tem um navio+água de massa total inicial
que navega com velocidade
. Nos porões tem uma água de massa
. O navio vai jorrar essa água pra trás a uma taxa de massa constante
e com velocidade relativa ao navio
. Ainda tem uma força de arrasto externa
.
Conteúdo envolvido:
• Sistema de massa variável (“equação do foguete”).
• Força externa constante.
• Integração de uma equação diferencial para achar a velocidade.
• Sistema de massa variável (“equação do foguete”).
• Força externa constante.
• Integração de uma equação diferencial para achar a velocidade.
O que vamos precisar:
- tempo até a massa de água de
ser expelida (bastante direto: massa/fluxo). - equação diferencial
, usar e integrar de a .
Passo 2
A parte (a) é o tempo que leva pra expulsar a água de massa
a uma taxa
.
Como
Como
a massa de água some em
Passo 3
Agora a (b): velocidade final. A gente usa a equação do foguete com força externa:
Explicando cada termo informalmente:
– é o impulso dado pelo jato de água pra trás (se
, isso empurra pra frente).
– é o arrasto sempre contrário ao movimento.
Como , temos
–
–
Como
Passo 4
A equação virou
Mas
. Em vez de integrar em
, é mais fácil trocar de variável usando
Então
Integramos de
a
enquanto
vai de
a
:
Como
, isso dá aumento de velocidade.
Resposta
(a)
(b)
(b)