(a) Uma esfera de massa específica \rho flutua em um fluido de massa específica \rho_{f}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3. Se a metade da esfera está submersa no fluido, determine a densidade da esfera.
(b) Se inicialmente a esfera está completamente submersa no fluido, determine a aceleração da esfera quando esta é solta.
(c) Determine a aceleração de uma outra esfera de densidade 2 \rho_{f}, quando está é colocada dentro do fluido. Compare com o anterior.

Passo 1

O enunciado tem três partes:
(1) uma esfera flutua com metade do volume submerso em um fluido de densidade \rho_f=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, pede-se a densidade \rho da esfera;
(2) se a mesma esfera está inicialmente totalmente submersa e é liberada, determine sua aceleração;
(3) calcule a aceleração de outra esfera de densidade 2\rho_f e compare com o caso anterior.
O conteúdo envolve o Princípio de Arquimedes (empuxo) e a segunda lei de Newton (dinâmica de massa).

Passo 2

Na condição de flutuação, o empuxo iguala o peso da esfera. O empuxo é
E = \rho_f\,g\,V_\text{sub},
o peso é
P = \rho\,g\,V,
e como metade da esfera está submersa temos V_\text{sub}=V/2. Igualando E=P:
\rho_f\,g\,\frac{V}{2} \;=\;\rho\,g\,V \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{\rho_f}{2} = \frac{1000}{2} = 500\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Quando a esfera (com \rho=500\\ \mathrm{kg/m^3}) está totalmente submersa, a força resultante é
F_\text{res}=E - P = \rho_f\,g\,V \;-\;\rho\,g\,V = (\rho_f-\rho)\,g\,V.
Pela segunda lei de Newton, a aceleração é
a = \frac{F_\text{res}}{m} = \frac{(\rho_f-\rho)\,g\,V}{\rho\,V} = g\Bigl(\frac{\rho_f}{\rho}-1\Bigr) = g\bigl(2-1\bigr) = g.
Ou seja, a=g para cima.

Passo 4

Para a esfera de densidade \rho' = 2\rho_f, temos
E' = \rho_f\,g\,V, \quad P' = \rho'\,g\,V = 2\rho_f\,g\,V,
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F'_\text{res}=E'-P'=(\rho_f-2\rho_f)\,g\,V = -\rho_f\,g\,V.
A aceleração vale
a' = \frac{F'_\text{res}}{\rho'\,V} = -\frac{\rho_f}{2\rho_f}\,g = -\frac{g}{2},
isto é, acelera para baixo com módulo g/2, menor que g.

Resposta

(a) \rho = 500\\ \mathrm{kg/m^3}.
(b) a = g para cima.
(c) a = \tfrac{g}{2} para baixo, cujo módulo é menor do que no caso anterior g.

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