É possível remover energia, na forma de calor, de água à temperatura de congelamento \left(0,0^{\circ} \mathrm{C}\right. à pressão atmosférica), ou mesmo abaixo dessa temperatura, sem que a água congele; quando isso acontece, dizemos que a água está super-resfriada. Suponha que uma gota d’água de)1,00 \mathrm{~g} seja superresfriada até que a temperatura seja a mesma do ar nas vizinhanças,éç25,00^{\circ} \mathrm{C} . Em seguida, a gota congela bruscamente, transferindo energia para o ar na forma de calor. Qual é a variação da entropia da gota? (Sugestão: Use um processo reversível de três estágios, como se a gota passasse pelo ponto normal de congelamento.) O calor específico do gelo ééçããíêáíé2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}$.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia da gota de água quando ela parte de 25{,}00^\circ\mathrm{C} (água líquida) e termina como gelo a 25{,}00^\circ\mathrm{C}. Para calcular isso reversivelmente, imaginamos três etapas:
  1. Resfriar a água líquida de T_1=298{,}15\\ \mathrm K até T_2=273{,}15\\ \mathrm K.
  2. Congelar a T_2=273{,}15\\ \mathrm K (liberando calor latente).
  3. Aquecer o gelo de 273{,}15\\ \mathrm K de volta a 298{,}15\\ \mathrm K.
    Usaremos
    – Calor específico da água: c_{\ell}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor-padrão)
    – Calor latente de fusão da água: L_f=3{,}34\times10^5\\ \mathrm{J/kg}
    – Calor específico do gelo: c_{g}=2220\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    – Massa da gota: m=1{,}00\\ \mathrm g=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Variação de entropia ao resfriar a água de T_1 a T_2:
\Delta S_1 = \int_{T_1}^{T_2} \frac{m\,c_{\ell}\,dT}{T} = m\,c_{\ell}\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_2}{T_1}\bigr).
Substituindo:
\Delta S_1 = (1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{kg})(4186)\, \ln\!\bigl(\tfrac{273{,}15}{298{,}15}\bigr) \approx 4{,}186\;\ln(0,91685) \approx -0{,}364\\ \mathrm{J/K}.

Passo 3

Variação de entropia ao congelar à T_2:
\Delta S_2 = -\frac{Q_{\mathrm{lat}}}{T_2} = -\frac{m\,L_f}{T_2} = -\frac{(1{,}00\times10^{-3})(3{,}34\times10^5)}{273{,}15} \approx -\frac{334}{273{,}15} \approx -1{,}223\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Variação de entropia ao aquecer o gelo de 273{,}15 a 298{,}15\\ \mathrm K:
\Delta S_3 = \int_{T_2}^{T_1} \frac{m\,c_{g}\,dT}{T} = m\,c_{g}\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_1}{T_2}\bigr).
Substituindo:
\Delta S_3 = (1{,}00\times10^{-3})(2220)\, \ln\!\bigl(\tfrac{298{,}15}{273{,}15}\bigr) \approx 2{,}220\;\ln(1,09183) \approx 0{,}195\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Soma das três contribuições:
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 \approx (-0{,}364) + (-1{,}223) + 0{,}195 \approx -1{,}392\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

\displaystyle \Delta S_{\text{gota}}\approx -1{,}39\\ \mathrm{J/K}.

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