Uma esfera de massa M e raio R desce rolando (sem deslizar) ao longo de um plano inclinado de um ângulo theta em relação à horizontal.
Determine a velocidade da esfera ao atingir a base do plano utilizando a 2^a lei de Newton.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: uma esfera de massa e raio está rolando sem deslizar por um plano inclinado que forma um ângulo com a horizontal. A ideia é usar a 2ª lei de Newton (forças e torques) para achar a aceleração e depois a velocidade lá embaixo. Para isso a gente vai precisar de:
  1. Diagrama de forças (força peso, normal e atrito).
  2. Equação de Newton para a translação ( ).
  3. Equação de Newton para a rotação ( ).
  4. Condição de rolamento sem deslizar ( ).

Passo 2

Desenhando o diagrama de forças:
  • Peso em componente paralela ao plano: M,a ;=; Mgsintheta ;-; f tag1 .
  • Força de atrito estática I,alpha ;=; f,R tag2 apontando para cima do plano (impede o deslizamento).
Translação ao longo do plano:
a = alpha,R tag3
Rotação em torno do centro da esfera:
  • Torque do atrito: .
  • Momento de inércia da esfera: .
  • Lei de rotação:
Como está rolando sem deslizar,

Passo 3

Agora é só juntar (2) e (3) pra achar I,alpha = f,R ;Longrightarrow; 25MR^2;aR = f,R ;Longrightarrow; f = 25M,a :
M,a = M gsintheta - 25M,a ;Longrightarrow; al(1+tfrac25r) = gsintheta ;Longrightarrow; a = 57,gsintheta
Coloca isso em (1):

Passo 4

Pra achar a velocidade ao final, supondo que a esfera percorreu comprimento v^2 = 2,a,s do plano partindo do repouso, usamos
v = raiz2;57gsintheta;;s = raiz107,g,s,sintheta
Substituindo :

Resposta

boxedv ;=;raiz107,g,s,sintheta,,
onde é o comprimento do trecho inclinado que a esfera desceu.

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