Uma esfera de massa e raio desce rolando (sem deslizar) ao longo de um plano inclinado de um ângulo em relação à horizontal.
Determine a velocidade da esfera ao atingir a base do plano utilizando a lei de Newton.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: uma esfera de massa e raio está rolando sem deslizar por um plano inclinado que forma um ângulo com a horizontal. A ideia é usar a 2ª lei de Newton (forças e torques) para achar a aceleração e depois a velocidade lá embaixo. Para isso a gente vai precisar de:
Diagrama de forças (força peso, normal e atrito).
Equação de Newton para a translação ().
Equação de Newton para a rotação ().
Condição de rolamento sem deslizar ().
Passo 2
Desenhando o diagrama de forças:
Peso em componente paralela ao plano: .
Força de atrito estática apontando para cima do plano (impede o deslizamento).
Translação ao longo do plano:
Rotação em torno do centro da esfera:
Torque do atrito: .
Momento de inércia da esfera: .
Lei de rotação:
Como está rolando sem deslizar,
Passo 3
Agora é só juntar (2) e (3) pra achar I,alpha = f,R ;Longrightarrow; 25MR^2;aR = f,R ;Longrightarrow; f = 25M,a :
M,a = M gsintheta - 25M,a ;Longrightarrow; al(1+tfrac25r) = gsintheta ;Longrightarrow; a = 57,gsintheta
Coloca isso em (1):
Passo 4
Pra achar a velocidade ao final, supondo que a esfera percorreu comprimento v^2 = 2,a,s do plano partindo do repouso, usamos
v = raiz2;57gsintheta;;s = raiz107,g,s,sintheta
Substituindo :
Resposta
boxedv ;=;raiz107,g,s,sintheta,,
onde é o comprimento do trecho inclinado que a esfera desceu.