Obtenha a equação de movimento para um pêndulo simples no limite de pequenas amplitudes. Qual o período de oscilação neste caso?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o pêndulo simples! A questão pede para obter a equação de movimento de um pêndulo simples quando as oscilações são pequenas e, depois, determinar o período de oscilação nesse caso. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física clássica, como forças, torque e movimentos harmônicos simples. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo simples: é uma massa pontual (como uma bolinha) presa a uma corda ou fio de comprimento $ L $ que oscila sob a ação da gravidade. Quando o pêndulo se desvia do equilíbrio, a gravidade exerce uma força que o faz voltar para a posição central.
Passo 3
Vamos analisar as forças envolvidas. A única força que provoca torque no pêndulo é a componente do peso que age perpendicularmente à corda. Se o ângulo de deslocamento for $ \theta $, a componente tangencial do peso é $ mg \sin(\theta) $, onde $ m $ é a massa e $ g $ é a aceleração devido à gravidade.
Passo 4
O torque $ \tau $ causado por essa força é dado por:
O sinal negativo indica que o torque age no sentido de restaurar o pêndulo à posição de equilíbrio.
Passo 5
Segundo a segunda lei de Newton para rotação, temos:
onde $ I $ é o momento de inércia e $ \alpha $ é a aceleração angular. Para uma massa pontual, $ I = mL^2 $. Substituindo na equação:
Como $ \alpha $ é a segunda derivada de $ \theta $ em relação ao tempo, $ \alpha = \frac{d2\theta}{dt2} $. Então:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ mL^2 $:
Como estamos no limite de pequenas amplitudes, onde $ \theta $ é pequeno, podemos usar a aproximação $ \sin(\theta) \approx \theta $ (em radianos). Assim, a equação fica:
Essa é a equação de movimento de um movimento harmônico simples (MHS).
Passo 7
Sabendo que para um MHS a frequência angular $ \omega $ é dada por $ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} $. O período de oscilação $ T $ está relacionado à frequência angular por:
Resposta
O período de oscilação do pêndulo simples, no limite de pequenas amplitudes, é: